Mathematik zum Wochenende – Lösung
bearbeitet von Gunnar Bittersmann@@Gunnar Bittersmann
Hm, Kreise scheinen hier nicht so gut anzukommen. Wie so oft bei Geometriaufgaben ist die richtige Hilfslinie schon die halbe Lösung.
*O* sei der Mittelpunkt des großen Kreises mit dem Raduis 2*r*; *P* der Mittelpunkt des kleinen Kreises mit dem Raduis *r*.
[![Skizze](/images/5aadbb53-10bd-473e-9f32-da3a44fed74f.jpeg?size=medium)](/images/5aadbb53-10bd-473e-9f32-da3a44fed74f.jpeg)
An *EQ* kommt man über das Dreieck *OEQ*:
*EQ*² = *OE*² − *OQ*² = *OE*² − 4*r*²
An *OE* kommt man über das Dreieck *OPE*:
*OE*² = *OP*² + *PE*² − 2 *OP* *PE* cos *φ* = 9*r*² + *r*² − 2 ⋅ 3*r* ⋅ *r* cos *φ* = 10*r*² − 6*r*² cos *φ*
An cos *φ* kommt man über das Dreieck *APE*:
cos *φ* = *PE* / *AP* = *r* / 5*r* = ⅕
Eingesetzt:
*EQ*² = 10*r*² − 6*r*² ⋅ ⅕ − 4*r*² = ²⁴⁄₅*r*²
Brauchen wir nur noch den Radius. Da kommt die Länge von *HE* ins Spiel.
Winkel *BHA* ist ebenso wie *PEA* rechtwinklig (Thales). Strahlensatz:
*AE* / *HE* = *AE* / √5 = *AP* / *BP* = 5*r* / *r* = 5
*AE* = 5√5
*AE*² = 125 = *AP*² − *PE*² = 25*r*² − *r*² = 24*r*²
*r*² = ¹²⁵⁄₂₄
*EQ*² = ²⁴⁄₅ ⋅ ¹²⁵⁄₂₄ = 25
*EQ* = 5
LLAP 🖖
--
“When UX doesn’t consider *all* users, shouldn’t it be known as ‘*Some* User Experience’ or... SUX? #a11y” —[Billy Gregory](https://twitter.com/thebillygregory/status/552466012713783297)
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Hm, Kreise scheinen hier nicht so gut anzukommen. Wie so oft bei Geometriaufgaben ist die richtige Hilfslinie schon die halbe Lösung.
*O* sei der Mittelpunkt des großen Kreises mit dem Raduis 2*r*; P der Mittelpunkt des kleinen Kreises mit dem Raduis *r*.
[![Skizze](/images/5aadbb53-10bd-473e-9f32-da3a44fed74f.jpeg?size=medium)](/images/5aadbb53-10bd-473e-9f32-da3a44fed74f.jpeg)
An *EQ* kommt man über das Dreieck *OEQ*:
*EQ*² = *OE*² − *OQ*² = *OE*² − 4*r*²
An *OE* kommt man über das Dreieck *OPE*:
*OE*² = *OP*² + *PE*² − 2 *OP* *PE* cos *φ* = 9*r*² + *r*² − 2 ⋅ 3*r* ⋅ *r* cos *φ* = 10*r*² − 6*r*² cos *φ*
An cos *φ* kommt man über das Dreieck *APE*:
cos *φ* = *PE* / *AP* = *r* / 5*r* = ⅕
Eingesetzt:
*EQ*² = 10*r*² − 6*r*² ⋅ ⅕ − 4*r*² = ²⁴⁄₅*r*²
Brauchen wir nur noch den Radius. Da kommt die Länge von *HE* ins Spiel.
Winkel *BHA* ist ebenso wie *PEA* rechtwinklig (Thales). Strahlensatz:
*AE* / *HE* = *AE* / √5 = *AP* / *BP* = 5*r* / *r* = 5
*AE* = 5√5
*AE*² = 125 = *AP*² − *PE*² = 25*r*² − *r*² = 24*r*²
*r*² = ¹²⁵⁄₂₄
*EQ*² = ²⁴⁄₅ ⋅ ¹²⁵⁄₂₄ = 25
*EQ* = 5
LLAP 🖖
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Hm, Kreise scheinen hier nicht so gut aunzukommen. Wie so oft bei Geometriaufgaben ist die richtige Hilfslinie schon die halbe Lösung.
*O* sei der Mittelpunkt des großen Kreises mit dem Raduis 2*r*; P der Mittelpunkt des kleinen Kreises mit dem Raduis *r*.
[![Skizze](/images/5aadbb53-10bd-473e-9f32-da3a44fed74f.jpeg?size=medium)](/images/5aadbb53-10bd-473e-9f32-da3a44fed74f.jpeg)
An *EQ* kommt man über das Dreieck *OEQ*:
*EQ*² = *OE*² − *OQ*² = *OE*² − 4*r*²
An *OE* kommt man über das Dreieck *OPE*:
*OE*² = *OP*² + *PE*² − 2 *OP* *PE* cos *φ* = 9*r*² + *r*² − 2 ⋅ 3*r* ⋅ *r* cos *φ* = 10*r*² − 6*r*² cos *φ*
An cos *φ* kommt man über das Dreieck *APE*:
cos *φ* = *PE* / *AP* = *r* / 5*r* = ⅕
Eingesetzt:
*EQ*² = 10*r*² − 6*r*² ⋅ ⅕ − 4*r*² = ²⁴⁄₅*r*²
Brauchen wir nur noch den Radius. Da kommt die Länge von *HE* ins Spiel.
Winkel *BHA* ist ebenso wie *PEA* rechtwinklig (Thales). Strahlensatz:
*AE* / *HE* = *AE* / √5 = *AP* / *BP* = 5*r* / *r* = 5
*AE* = 5√5
*AE*² = 125 = *AP*² − *PE*² = 25*r*² − *r*² = 24*r*²
*r*² = ¹²⁵⁄₂₄
*EQ*² = ²⁴⁄₅ ⋅ ¹²⁵⁄₂₄ = 25
*EQ* = 5
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Hm, Kreise scheinen hier nicht so gut aunzukommen. Wie so oft bei Geometriaufgaben ist die richtige Hilfslinie schon die halbe Lösung.
*O* sei der Mittelpunkt des großen Kreises mit dem Raduis 2*r*; P der Mittelpunkt des kleinen Kreises mit dem Raduis *r*.
[![Skizze](/images/eb65f6ce-dadb-4fe1-82e2-f8bb1880931e.jpeg?size=medium)](/images/eb65f6ce-dadb-4fe1-82e2-f8bb1880931e.jpeg)
An *EQ* kommt man über das Dreieck *OEQ*:
*EQ*² = *OE*² − *OQ*² = *OE*² − 4*r*²
An *OE* kommt man über das Dreieck *OPE*:
*OE*² = *OP*² + *PE*² − 2 *OP* *PE* cos *φ* = 9*r*² + *r*² − 2 ⋅ 3*r* ⋅ *r* cos *φ* = 10*r*² − 6*r*² cos *φ*
An cos *φ* kommt man über das Dreieck *APE*:
cos *φ* = *PE* / *AP* = *r* / 5*r* = ⅕
Eingesetzt:
*EQ*² = 10*r*² − 6*r*² ⋅ ⅕ − 4*r*² = ²⁴⁄₅*r*²
Brauchen wir nur noch den Radius. Da kommt die Länge von *HE* ins Spiel.
Winkel *BHA* ist ebenso wie *PEA* rechtwinklig (Thales). Strahlensatz:
*AE* / *HE* = *AE* / √5 = *AP* / *BP* = 5*r* / *r* = 5
*AE* = 5√5
*AE*² = 125 = *AP*² − *PE*² = 25*r*² − *r*² = 24*r*²
*r*² = ¹²⁵⁄₂₄
*EQ*² = ²⁴⁄₅ ⋅ ¹²⁵⁄₂₄ = 25
*EQ* = 5
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Hm, Kreise scheinen hier nicht so gut aunzukommen. Wie so oft bei Geometriaufgaben ist die richtige Hilfslinie schon die halbe Lösung.
*O* sei der Mittelpunkt des großen Kreises mit dem Raduis 2*r*; P der Mittelpunkt des kleinen Kreises mit dem Raduis *r*.
Skizze
An *EQ* kommt man über das Dreieck *OEQ*:
*EQ*² = *OE*² − *OQ*² = *OE*² − 4*r*²
An *OE* kommt man über das Dreieck *OPE*:
*OE*² = *OP*² + *PE*² − 2 *OP* *PE* cos *φ* = 9*r*² + *r*² − 2 ⋅ 3*r* ⋅ *r* cos *φ* = 10*r*² − 6*r*² cos *φ*
An cos *φ* kommt man über das Dreieck *APE*:
cos *φ* = *PE* / *AP* = *r* / 5*r* = ⅕
Eingesetzt:
*EQ*² = 10*r*² − 6*r*² ⋅ ⅕ − 4*r*² = ²⁴⁄₅*r*²
Brauchen wir nur noch den Radius. Da kommt die Länge von *HE* ins Spiel.
Winkel *BHA* ist ebenso wie *PEA* rechtwinklig (Thales). Strahlensatz:
*AE* / *HE* = *AE* / √5 = *AP* / *BP* = 5*r* / *r* = 5
*AE* = 5√5
*AE*² = 125 = *AP*² − *PE*² = 25*r*² − *r*² = 24*r*²
*r*² = ¹²⁵⁄₂₄
*EQ*² = ²⁴⁄₅ ⋅ ¹²⁵⁄₂₄ = 25
*EQ* = 5
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