Mathematik zum Wochenende – Lösung

[Gunnar Bittersmann]

@@Gunnar Bittersmann

Wieder die üblichen Verdächtigen dabei: ottogal hatte es genauso wie ich, Rolf das Pferd andersrum aufgezäumt.

• Kreis um D berührt Gerade OA und Kreisbögen AB und OB in jeweils einem Punkt.

Diese Berührungspunkte seien E, F, G. H sei der Fußpunkt des Lotes von D auf OB.

Zwei sich in einem Punkt berührende Kreise haben im Berührungspunkt eine gemeinsame Tangente, auf der die Radien senkrecht stehen. O, D und G sowie D, F und C liegen folglich jeweils auf einer Geraden.

O.B.d.A. Radius des Viertelkreises OA = OB = 1. Radius des gelben Kreises sei r = DE = DF = DG. Wegen DE ⊥ OA ist auch OH = r.

Pythogoras in den Dreiecken OHD und CHD:

$$\begin{align}DH^2 = OD^2 - OH^2 &= CD^2 - HC^2
\left( OG - DG \right)^2 - OH^2 &= \left( CF + DF \right)^2 - \left( OC - OH \right)^2
\left( 1 - r \right)^2 - r^2 &= \left( \tfrac{1}{2} + r \right)^2 - \left( \tfrac{1}{2} - r \right)^2
1 - 2r + r^2 - r^2 &= \tfrac{1}{4} + r + r^2 - \tfrac{1}{4} + r - r^2
1 &= 4r
r &= \tfrac{1}{4}
S &= \tfrac{1}{16} \pi \end{align} $$

S₁ + S₂ + S₃ errechnet sich aus der Fläche des Viertelkreises abzüglich der Fläche des Halbkreises abzüglich S:

$$S_1 + S_2 + S_3 = \tfrac{1}{4} \pi - \tfrac{1}{8} \pi - \tfrac{1}{16} \pi = \tfrac{1}{16} \pi = S$$

LLAP 🖖