Mathematik zum Wochenende

[Gunnar Bittersmann]

… oder zum Freitag-Vormittag. Der sollte für die Aufgabe reichen und ihr könnt das Sommer-Wochenende genießen.

• Viertelkreis AOB
• OB ist Durchmesser das Halbkreises um C
• Kreis um D berührt Gerade OA und Kreisbögen AB und OB in jeweils einem Punkt.
• Flächen S, S₁, S₂, S₃ siehe Zeichnung

Zu zeigen: S = S₁ + S₂ + S₃

LLAP 🖖

[Rolf B]

Erledigt. Jetzt kann ich den Grill anheizen 😂

[Gunnar Bittersmann]

@@Gunnar Bittersmann

Wieder die üblichen Verdächtigen dabei: ottogal hatte es genauso wie ich, Rolf das Pferd andersrum aufgezäumt.

• Kreis um D berührt Gerade OA und Kreisbögen AB und OB in jeweils einem Punkt.

Diese Berührungspunkte seien E, F, G. H sei der Fußpunkt des Lotes von D auf OB.

Zwei sich in einem Punkt berührende Kreise haben im Berührungspunkt eine gemeinsame Tangente, auf der die Radien senkrecht stehen. O, D und G sowie D, F und C liegen folglich jeweils auf einer Geraden.

O.B.d.A. Radius des Viertelkreises OA = OB = 1. Radius des gelben Kreises sei r = DE = DF = DG. Wegen DE ⊥ OA ist auch OH = r.

Pythogoras in den Dreiecken OHD und CHD:

$$\begin{align}DH^2 = OD^2 - OH^2 &= CD^2 - HC^2
\left( OG - DG \right)^2 - OH^2 &= \left( CF + DF \right)^2 - \left( OC - OH \right)^2
\left( 1 - r \right)^2 - r^2 &= \left( \tfrac{1}{2} + r \right)^2 - \left( \tfrac{1}{2} - r \right)^2
1 - 2r + r^2 - r^2 &= \tfrac{1}{4} + r + r^2 - \tfrac{1}{4} + r - r^2
1 &= 4r
r &= \tfrac{1}{4}
S &= \tfrac{1}{16} \pi \end{align} $$

S₁ + S₂ + S₃ errechnet sich aus der Fläche des Viertelkreises abzüglich der Fläche des Halbkreises abzüglich S:

$$S_1 + S_2 + S_3 = \tfrac{1}{4} \pi - \tfrac{1}{8} \pi - \tfrac{1}{16} \pi = \tfrac{1}{16} \pi = S$$

LLAP 🖖

[Rolf B]

Hallo Gunnar,

Zwei sich in einem Punkt berührende Kreise haben im Berührungspunkt eine gemeinsame Tangente, auf der die Radien senkrecht stehen. O, D und G sowie D, F und C liegen jeweils auf einer Geraden.

Aber ist denn die Existenz der Konstruktion als gesichert zu betrachten? Skizzen sind schnell gezeichnet, und manchmal sind sie Falschgeld („der Schein trügt“).

Meine Herleitung hat die Validität der Konstruktion mitgeliefert und ist deswegen umfangreicher.

Ich habe den Radius des Halbkreises auf 1 gesetzt. Offensichtlich ist, dass die Fläche des Halbkreises die Hälfte der Fläche des Viertelkreises einnimmt, und der Rest von S und S₁, S₂ und S₃. Wenn die Fläche von S die Hälfte der Fläche des Halbkreises hat, d.h. wenn der Radius von $$K_D$$ (der Kreis um D) $$\frac{1}{2}r$$ beträgt, ist das erfüllt.

Meine Berührpunkte hießen anders, aber ich verwende jetzt E,F,G damit ich mich auf Gunnars Zeichnung beziehen kann. Ich werde eine Position von D bestimmen, so dass $$K_D$$ die geforderten Eigenschaften hat und diese Eigenschaften jeweils nachweisen.

Damit E ein Berührpunkt sein kann, muss er auf der gleichen Höhe liegen wie D, dann steht der Kreisradius DE senkrecht auf der Y-Achse. DE ist Radius von $$K_D$$, wenn die x-Koordinate von D den Wert $$\frac{1}{2}$$ hat.

Ich setze die y-Koordinate von D so, dass der Abstand von D zu C $$\frac{3}{2}$$ beträgt. Das ist nach Pythagoras erfüllt, wenn D=$$(\frac{1}{2}, \sqrt{2})$$ ist. Ich platziere F auf dem Schnittpunkt von CD und Halbkreis, damit ist $$\overline{CF}=1$$ und es ergibt sich $$\overline{FD}=\frac{1}{2}$$. CF und DF sind also Radien ihrer Kreise, sie liegen auf der gleichen Geraden. Eine Senkrechte zu CD durch F ist also Tangente beider Kreise. F ist ein Berührpunkt von $$K_D$$ und $$K_C$$.

Weil D auf der Mittelsenkrechten von OC liegt, ist der Abstand von OD und CD gleich (Achsensymmetrie).

Die Gerade OD führt durch den Mittelpunkt des Viertelkreises, ihr Schnittpunkt mit dem Viertelkreis ist also ein Radius des Viertelkreises. Auf diesen Schnittpunkt lege ich G. Weil $$\overline{OD}=\frac{3}{2}$$, ist $$\overline{DG}=\frac{1}{2}$$ und damit liegt auch G auf $$K_D$$. Die Radien DG und OG liegen auf der gleichen Geraden, d.h. die Senkrechte zu OG in G ist Tangente von $$K_D$$ und Viertelkreis. G ist ein Berührpunkt.

Die Platzierung von D bei $$(\frac{1}{2},\sqrt{2})$$ führt also zu Punkten E,F,G, die die gewünschte Berühreigenschaft haben, und auf einem Kreis um D mit Radius $$\frac{1}{2}$$ liegen. Da drei Punkte eindeutig einen Kreis festlegen, ist das der Kreis aus der Aufgabenstellung, er hat die gewünschte Eigenschaft, dass sein Radius halb so groß ist wie der des Halbkreises, und damit ist S = S₁ + S₂ + S₃ nachgewiesen.

Verblüffend genug fand ich das Ergebnis schon; rein optisch sind die Segmente S₁ + S₂ + S₃ größer als S.

Rolf

[Gunnar Bittersmann]

@@Rolf B

Aber ist denn die Existenz der Konstruktion als gesichert zu betrachten?

Ja, IMHO. Warum sollte nicht?

Die Existenz der Konstruktion des Lotes würde ich schon als gesichert betrachten. Dass O, D und G sowie D, F und C jeweils auf einer Geraden liegen, hatte ich begründet.

Ich hab mal zur Klarheit noch die Zeile $$\left( OG - DG \right)^2 - OH^2 = \left( CF + DF \right)^2 - \left( OC - OH \right)^2$$ eingefügt.

Verblüffend genug fand ich das Ergebnis schon; rein optisch sind die Segmente S₁ + S₂ + S₃ größer als S.

Ja. Aber: Warum sagen viele immer „optisch“, wenn sie „visuell“ meinen?

LLAP 🖖

[Rolf B]

Hallo Gunnar,

Dass O, D und G sowie D, F und C jeweils auf einer Geraden liegen, hatte ich begründet.

Damit hatte ich auch kein Problem.

Die Existenz der Konstruktion des Lotes würde ich schon als gesichert betrachten.

Was du hiermit sagen willst, habe ich nicht verstanden.

Mein Problem war: Existiert garantiert ein Kreis, der genau diese 3 Berührpunkte hat? Augenscheinlich ja. Ich kann mir das auch mit einer "ich mach den langsam größer und lass ihn an den Konturen langrutschen bis es passt" Begründung zurecht legen. Aber eine mathematisch klare Begründung, dass dieser Kreis existiert, fehlte mir. Vermutlich war sie zu einfach, und hat sich meinem verschraubten Verstand entzogen.

Warum sagen viele immer „optisch“, wenn sie „visuell“ meinen?

Weil mein Visus mit meiner Optik gekoppelt ist?

Rolf

[Gunnar Bittersmann]

@@Rolf B

Warum sagen viele immer „optisch“, wenn sie „visuell“ meinen?

Weil mein Visus mit meiner Optik gekoppelt ist?

Warum sagen viele immer „Geordi“, wenn sie „Rolf“ meinen?

LLAP 🖖

[Gunnar Bittersmann]

@@Rolf B

Verblüffend genug fand ich das Ergebnis schon; rein optisch sind die Segmente S₁ + S₂ + S₃ größer als S.

Vielleicht haben wir Probleme, konkave Flächen richtig einzuschätzen. Wegen der Längen der begrenzenden Linien überschätzen wir deren Flächeninhalt.

LLAP 🖖