Mathematik zum Wochenanfang – Fallunterscheidung
bearbeitet von Gunnar Bittersmann@@Gunnar Bittersmann
*A͡B* sei der Kreisbogen *AB*, auf dem *C* nicht liegt. 2π*r* ist Länge des Vollkreises, ¼ × 2π*r* also ein Viertelkreis, ½ × 2π*r* ein Halbkreis.
Für die Lage von *A, B, C, D, E* gibt es 5 Fälle:
1. *A͡B* < ¼ × 2π*r*, d.h. ∠*AMB* < 1∟
Der Streckenzug *ABCDE* bildet ein M.
2. *A͡B* = ¼ × 2π*r*, d.h. ∠*AMB* = 1∟
*D* und *E* fallen zusammen; *d* = 0.
3. ¼ × 2π*r* < *A͡B* < ½ × 2π*r*, d.h. 1∟ < ∠*AMB* < 2∟
Der Streckenzug *ABCDE* bildet ein S bzw. Ƨ.
4. *A͡B* = ½ × 2π*r*, d.h. ∠*AMB* = 2∟
*C* und *D* sowie *B* und *E* fallen zusammen; *c* = 0.
5. ½ × 2π*r* < *A͡B* < ¾ × 2π*r*, d.h. 2∟ < ∠*AMB* < 2∟
Der Streckenzug *ABCDE* bildet ein ɣ.
[![](/images/49aa4328-c88b-40fd-9947-2ae07f987883.png?size=medium)](/images/49aa4328-c88b-40fd-9947-2ae07f987883.png)
Die beiden Fälle, in denen eine der Sehnen zu einem Punkt entartet, sind schnell besprochen:
In **Fall 2** ist ∠*AMB* = 1∟ und ∠*AMC* = 1∟, ∠*BMC* als Summe der beiden also ein gestreckter Winkel, d.h. *BC* ist Durchmesser. Aus *b* = 2*r* folgt *b*² + *d*² = 4*r*² wegen *d* = 0.
Aus ∠*ABC* = ∠*BCD* (Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen folgt *a* = *c*. Pythagoras in △*ABC*: *a*² + *a*² = *b*², also *a*² + *c*² = 4*r*².
In **Fall 4** ist *AB* Durchmesser. Aus *a* = 2*r* folgt *a*² + *c*² = 4*r*² wegen *c* = 0.
*C* ≡ *D* liegt auf dem Thaleskreis, △*ABC* ist gleichschenlig-rechtwinklig mit Kathetenlänge *b* = *d*. Pythagoras in △*ABC*: *b*² + *d*² = *a*² = 4*r*².
LLAP 🖖
--
*„Wer durch Wissen und Erfahrung der Klügere ist, der sollte nicht nachgeben. Und nicht aufgeben.“* —Kurt Weidemann
Mathematik zum Wochenanfang – Fallunterscheidung
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*A͡B* sei der Kreisbogen *AB*, auf dem *C* nicht liegt. 2π*r* ist Länge des Vollkreises, ¼ × 2π*r* also ein Viertelkreis, ½ × 2π*r* ein Halbkreis.
Für die Lage von *A, B, C, D, E* gibt es 5 Fälle:
1. *A͡B* < ¼ × 2π*r*, d.h. ∠*AMB* < 1∟
Der Streckenzug *ABCDE* bildet ein M.
2. *A͡B* = ¼ × 2π*r*, d.h. ∠*AMB* = 1∟
*D* und *E* fallen zusammen; *d* = 0.
3. ¼ × 2π*r* < *A͡B* < ½ × 2π*r*, d.h. 1∟ < ∠*AMB* < 2∟
Der Streckenzug *ABCDE* bildet ein S bzw. Ƨ.
4. *A͡B* = ½ × 2π*r*, d.h. ∠*AMB* = 2∟
*C* und *D* sowie *B* und *E* fallen zusammen; *c* = 0.
5. ½ × 2π*r* < *A͡B*, d.h. 2∟ < ∠*AMB*
Der Streckenzug *ABCDE* bildet ein ɣ.
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Die beiden Fälle, in denen eine der Sehnen zu einem Punkt entartet, sind schnell besprochen:
In **Fall 2** ist ∠*AMB* = 1∟ und ∠*AMC* = 1∟, ∠*BMC* als Summe der beiden also ein gestreckter Winkel, d.h. *BC* ist Durchmesser. Aus *b* = 2*r* folgt *b*² + *d*² = 4*r*² wegen *d* = 0.
Aus ∠*ABC* = ∠*BCD* (Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen folgt *a* = *c*. Pythagoras in △*ABC*: *a*² + *a*² = *b*², also *a*² + *c*² = 4*r*².
In **Fall 4** ist *AB* Durchmesser. Aus *a* = 2*r* folgt *a*² + *c*² = 4*r*² wegen *c* = 0.
*C* ≡ *D* liegt auf dem Thaleskreis, △*ABC* ist gleichschenlig-rechtwinklig mit Kathetenlänge *b* = *d*. Pythagoras in △*ABC*: *b*² + *d*² = *a*² = 4*r*².
LLAP 🖖
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*„Wer durch Wissen und Erfahrung der Klügere ist, der sollte nicht nachgeben. Und nicht aufgeben.“* —Kurt Weidemann