Geometrie zum Jahresende - Lösung

[Matthias Apsel]

Hallo Matthias Apsel,

Die Seiten eines gleichseitigen Dreiecks werden im selben Verhältnis geteilt.

1. Beweise, dass in der Mitte ein gleichseitiges Dreieck entsteht.

Richtige Lösungen gab es von @encoder (2 Varianten), @Gunnar Bittersmann und @ottogal.

Variante 1.

Die Drehung der Figur um 120° um den Mittelpunkt von △ABC bildet A auf B ab, B auf C und C auf A sowie D auf E, E auf F und F auf D, also AE auf BF, BF auf CD und CD auf AE, damit aber auch deren Schnittpunkte G auf H, H auf I und I auf G. Folglich ist △GHI gleichseitig. (Formulierung: Gunnar)

Variante 2.

Aufgrund der Symmetrie reicht es, das Dreieck ABH zu betrachten.
Es gilt: ∠HAB + ∠ABH = 60°

∠GHI ist Außenwinkel des Dreiecks ABH. Ein Außenwinkel eines Dreiecks ist so groß, wie die Summe der beiden nicht anliegenden Innenwinkel.

2. In welchem Verhältnis müssen die Seiten geteilt werden, damit sich die Flächeninhalte der beiden gleichseitigen Dreiecke wie 1 zu 7 verhalten?

Gunnar und ich haben den Cosinussatz bemüht.

Nun denn: o.B.d.A. AB = 1.

q = AD = BE (Verhältnis der kurzen Strecke zur Seitenlänge des äußeren Dreiecks); p = AG; r = GH (Seitenlänge des inneren Dreiecks); s = DG = EH; t = AE = p + r + s

Die Dreiecke AGD und ABE stimmen in ihren Innenwinkeln überein, sind also ähnlich; es gilt s : q = q : t = p : 1.

Cosinussatz in △ABE: t² = 1 + q² − 2q cos 60° = 1 − q + q²

r = GH : AB ist das Verhältnis der Seitenlängen der Dreiecke; damit ist r² das Verhältnis von deren Flächeninhalten.

$$\begin{align} r &= t - p - s = t - \frac{q}{t} - \frac{q^2}{t}
&= \frac{t^2 - q - q^2}{t} = \frac{1 - 2q}{t}
r^2 &= \frac{\left( 1 - 2q \right)^2}{t^2} = \frac{\left( 1 - 2q \right)^2}{1 − q + q^2} \end{align}$$

Für q = ⅓ ergibt sich wie vermutet r² = ⅟₇. Teilungsverhältnis also 1 : 2, die Oktave.

In welchem Verhältnis müssen die Seiten geteilt werden, damit sich die Flächeninhalte der beiden gleichseitigen Dreiecke wie 1 zu 19 verhalten?
Wenn ich schon so frage, wirds wohl was mit kleinen ganzen Zahlen sein.

Für q = ⅖ ist r² = ⅟₁₉. Teilungsverhältnis 2 : 3, die Quinte.

In welchem Verhältnis müssen die Seiten geteilt werden, damit sich die Flächeninhalte der beiden gleichseitigen Dreiecke wie 1 zu 37 verhalten?
Wenn ich schon so frage, wirds wohl was mit kleinen ganzen Zahlen sein.

Für q = ³⁄₇ ist r² = ⅟₃₇. Teilungsverhältnis 3 : 4, die Quarte.

(Formulierung: Gunnar)

wie vermutet

Sowohl Gunnar als auch Ottogal haben das richtige Verhältnis vermutet, Ottogal hat einen geschickten Zerlegungsbeweis vorgelegt:

Die Seiten des großen Dreiecks müssen jeweils im Verhältnis 1:2 geteilt werden. Man kann dann die ganze Figur in 21 flächengleiche Dreiecke zerlegen, von denen 3 auf das innere Dreieck entfallen. Es hat also 1/7 der Gesamtfläche:

Bis demnächst
Matthias