Mathematik zum Wochenende - Lösung

[ottogal]

Mein Versuch sah so aus:

Wir formen die Pythagoras-Gleichung um:

$$a^2+b^2=c^2$$

$$a^2=c^2-b^2=(c-b)(c+b)=(c-b)(c-b+2b)$$

Wir setzen $$s=c-b$$ und erhalten

$$a^2=s(s+2b)$$ und nach Division durch $$s^2$$:

$$\frac{a^2}{s^2}=1+\frac{2b}{s}$$.

Auflösen nach $$b$$ ergibt

$$b=\frac{s}{2} \cdot (\frac{a^2}{s^2}-1)$$.

Damit $$b$$ ganzzahlig wird, müssen zwei Bedingungen erfüllt sein:

1.: $$s$$ muss gerade sein.

2.: $$\frac{a}{c}$$ muss ganzzahlig sein, etwa $$a=s \cdot t$$ mit ganzzahligem $$t$$.

Mit $$t$$ können wir kurz schreiben:

(1) $$\quad b=\frac{s}{2} \cdot (t^2-1)$$.

Nun kommt die Bedingung ins Spiel, dass der Flächeninhalt und der Umfang des Dreiecks die selbe Maßzahl haben sollen; es soll also gelten:

$$\frac{1}{2} ab = a+b+c$$; mit $$c=b+s$$ wird daraus

$$\frac{1}{2} ab = a+2b+s$$.

Wir dividieren durch $$a$$:

$$\frac{b}{2}=1+2\frac{b}{a}+\frac{s}{a}$$

Wegen (1) ist $$2\frac{b}{a}=\frac{s}{a}(t^2-1)$$; dies eingesetzt folgt mit $$\frac{s}{a}=\frac{1}{t}$$:

$$\frac{b}{2}=1+\frac{1}{t}(t^2-1)+\frac{1}{t}$$

und man erhält schließlich

(2) $$\quad b=2(t+1)$$

Weiter folgt aus (1):

$$s=\frac{2b}{t^2-1}$$, und mit (2) daraus

$$s=\frac{4(t+1)}{t^2-1}=\frac{4(t+1)}{(t+1)(t-1)}=\frac{4}{t-1}$$.

Nun bekommen wir

$$a=s \cdot t=4 \cdot \frac{t}{t-1}= 4 \cdot \frac{t-1+1}{t-1}$$

also

(3) $$\quad a=4+\frac{4}{t-1}$$

$$a$$ ist nur ganzzahlig, wenn $$\frac{4}{t-1}$$ ganzzahlig ist. $$t-1$$ muss also Teiler von $$4$$ sein, kann also nur $$1$$, $$2$$ oder $$4$$ sein.
Also ist $$t=2$$, $$t=3$$ oder $$t=5$$.

Somit erhält man nur die Tripel $$(8,6,10)$$, $$(6,8,10)$$ und $$(5,12,13)$$. Zählt man den Fall mit vertauschten Katheten nicht mit, gibt es nur 2 derartige Dreiecke.