Mathematik zum Wochenende - Lösung

[ottogal]

Typo:

2.: $$\frac{a}{c}$$ muss ganzzahlig sein

sollte natürlich heißen
2.: $$\frac{a}{s}$$ muss ganzzahlig sein

Mit weniger Ablenkung durch Glühwein etc. sah ich, dass mein Weg von

$$\frac{a^2}{s^2}=1+\frac{2b}{s}$$ zu $$b=2(t+1)$$ doch sehr umwegig war.

Hier eine revidierte Fassung:

Wir formen die Pythagoras-Gleichung um:

$$a^2+b^2=c^2$$

$$a^2=c^2-b^2=(c-b)(c+b)=(c-b)(c-b+2b)$$

Wir setzen $$s=c-b$$ und erhalten

$$a^2=s(s+2b)$$ und nach Division durch $$s^2$$:

$$\frac{a^2}{s^2}=1+\frac{2b}{s}$$.

Wir setzen zur Abkürzung

$$\frac{a}{s}=t$$.

Somit gilt $$t^2=1+\frac{2b}{s}$$, also

(1) $$\quad \frac{2b}{s}=t^2-1$$.

Die Bedingung, dass der Flächeninhalt und der Umfang des Dreiecks die selbe Maßzahl haben sollen, lautet:

$$\frac{1}{2} ab = a+b+c$$. Mit $$c=b+s$$ wird daraus

$$\frac{1}{2} ab = a+2b+s$$.

Wir dividieren durch $$s$$:

$$\frac{b}{2} \cdot \frac{a}{s}=\frac{a}{s}+\frac{2b}{s}+1$$.

Einsetzen von $$t$$ für $$\frac{a}{s}$$ und von $$t^2-1$$ für $$\frac{2b}{s}$$ ergibt

$$\frac{b}{2} \cdot t=t+t^2-1+1$$, somit

$$\frac{b}{2} \cdot t=t(1+t)$$.

Nach Multiplikation mit $$\frac{2}{t}$$ haben wir schließlich

(2) $$\quad b=2(t+1)$$.

Da $$b$$ ganzzahlig sein soll, muss auch $$t$$ ganzzahlig sein.

Weiter folgt aus (1):

$$s=\frac{2b}{t^2-1}$$, und mit (2) daraus

$$s=\frac{4(t+1)}{t^2-1}=\frac{4(t+1)}{(t+1)(t-1)}$$;

Nach Kürzen des Faktors $$(t+1)$$ erhält man

$$s=\frac{4}{t-1}$$.

Wegen $$a=s \cdot t$$ bekommen wir

$$a=\frac{4t}{t-1}=4 \cdot \frac{t}{t-1}= 4 \cdot \frac{t-1+1}{t-1}=4+\frac{4}{t-1}$$.

$$a$$ ist nur ganzzahlig, wenn $$\frac{4}{t-1}$$ ganzzahlig ist. $$t-1$$ muss also Teiler von $$4$$ sein, kann also nur $$1$$, $$2$$ oder $$4$$ sein.
Also ist $$t=2$$, $$t=3$$ oder $$t=5$$.

Somit erhält man nur die Tripel $$(8,6,10)$$, $$(6,8,10)$$ und $$(5,12,13)$$. Zählt man den Fall mit vertauschten Katheten nicht mit, gibt es nur 2 derartige Dreiecke.