Mathematik zum Wochenanfang – Lösung
bearbeitet von Gunnar Bittersmann@@Gunnar Bittersmann
> Finde alle ganzen Zahlen *n*, für die *n*³ − 7*n* + 9 prim ist.
Zunächst ist die Erkenntnis hilfreich, dass *n*³ − 7*n* + 9 für alle ganzzahligen *n* durch 3 teilbar ist.
Beweis durch vollständige Induktion: Für *n* = 0 ist *n*³ − 7*n* + 9 = 9 durch 3 teilbar.
Wenn *n*³ − 7*n* + 9 durch 3 teilbar ist, dann ist auch (*n* + 1)³ − 7(*n* + 1) + 9 durch 3 teilbar, denn:
(*n* + 1)³ − 7(*n* + 1) + 9 = *n*³ + 3*n*² + 3*n* + 1 − 7*n* − 7 + 9 = *n*³ − 7*n* + 9 + 3*n*² + 3*n* − 6
und sowohl *n*³ − 7*n* + 9 als auch 3*n*² + 3*n* − 6 sind durch 3 teilbar.
Haben wir nun gezeigt, dass *n*³ − 7*n* + 9 für alle ganzzahligen *n* durch 3 teilbar ist? Nei-en! Wir haben das für alle nichtnegativen ganzzahligen *n* gezeigt. Fehlen noch die negativen! Also das Ganze noch mal für (*n* − 1)³ − 7(*n* − 1) + 9.
Oder gleich so:
(*n* ± 1)³ − 7(*n* ± 1) + 9 = *n*³ ± 3*n*² + 3*n* ± 1 − 7*n* ∓ 7 + 9 = *n*³ − 7*n* + 9 ± 3*n*² + 3*n* ∓ 6
ist durch 3 teilbar, weil sowohl *n*³ − 7*n* + 9 als auch ±3*n*² + 3*n* ∓ 6 durch 3 teilbar sind.
Wenn nun eine durch 3 teilbare Zahl prim sein soll, dann muss es die 3 selbst sein: *n*³ − 7*n* + 9 = 3, also *n*³ − 7*n* + 6 = 0.
Durch Probieren findet man ***n*₁ = 1**. Polynomdivision durch *n* − 1 ergibt *n*² + *n* − 6 = (*n* − 2)(*n* + 3). ***n*₂ = 2**; ***n*₃ = −3**.
(Man könnte nun vielleicht auch argumentieren, dass *n*³ − 7*n* + 9 auch −3 sein dürfte. *n*³ − 7*n* + 12 = 0 hat aber keine ganzzahligen Lösungen.)
1, 2 und −3 sind die einzigen ganzen Zahlen, für die *n*³ − 7*n* + 9 prim ist.
LLAP 🖖
--
*„Wer durch Wissen und Erfahrung der Klügere ist, der sollte nicht nachgeben. Und nicht aufgeben.“* —Kurt Weidemann
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> Finde alle ganzen Zahlen *n*, für die *n*³ − 7*n* + 9 prim ist.
Zunächst ist die Erkenntnis hilfreich, dass *n*³ − 7*n* + 9 für alle ganzzahligen *n* durch 3 teilbar ist.
Beweis durch vollständige Induktion: Für *n* = 0 ist *n*³ − 7*n* + 9 = 9 durch 3 teilbar.
Wenn *n*³ − 7*n* + 9 durch 3 teilbar ist, dann ist auch (*n* + 1)³ − 7(*n* + 1) + 9 durch 3 teilbar, denn:
(*n* + 1)³ − 7(*n* + 1) + 9 = *n*³ + 3*n*² + 3*n* + 1 − 7*n* − 7 + 9 = *n*³ − 7*n* + 9 + 3*n*² + 3*n* − 6
und sowohl *n*³ − 7*n* + 9 als auch 3*n*² + 3*n* − 6 sind durch 3 teilbar.
Haben wir nun gezeigt, dass *n*³ − 7*n* + 9 für alle ganzzahligen *n* durch 3 teilbar ist? Nei-en! Wir haben das für alle nichtnegativen ganzzahligen *n* gezeigt. Fehlen noch die negativen! Also das Ganze noch mal für (*n* − 1)³ − 7(*n* − 1) + 9.
Oder gleich so:
(*n* ± 1)³ − 7(*n* ± 1) + 9 = *n*³ ± 3*n*² + 3*n* ± 1 − 7*n* ∓ 7 + 9 = *n*³ − 7*n* + 9 ± 3*n*² + 3*n* ∓ 6
ist durch 3 teilbar, weil sowohl *n*³ − 7*n* + 9 als auch ±3*n*² + 3*n* ∓ 6 durch 3 teilbar sind.
Wenn nun eine durch 3 teilbare Zahl prim sein soll, dann muss es die 3 selbst sein: *n*³ − 7*n* + 9 = 3, also *n*³ − 7*n* + 6 = 0.
Durch Probieren findet man ***n*₁ = 1**. Polynomdivision durch *n* − 1 ergibt *n*² + *n* − 6 = (*n* − 2)(*n* + 3). ***n*₂ = 2**; ***n*₃ = −3**.
Man könnte nun vielleicht auch argumentieren, dass *n*³ − 7*n* + 9 auch −3 sein dürfte. *n*³ − 7*n* + 12 = 0 hat aber keine ganzzahligen Lösungen.
1, 2 und −3 sind die einzigen ganzen Zahlen, für die *n*³ − 7*n* + 9 prim ist.
LLAP 🖖
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> Finde alle ganzen Zahlen *n*, für die *n*³ − 7*n* + 9 prim ist.
Zunächst ist die Erkenntnis hilfreich, dass *n*³ − 7*n* + 9 für alle ganzzahligen *n* durch 3 teilbar ist.
Beweis durch vollständige Induktion: Für *n* = 0 ist *n*³ − 7*n* + 9 = 9 durch 3 teilbar.
Wenn *n*³ − 7*n* + 9 durch 3 teilbar ist, dann ist auch (*n* + 1)³ − 7(*n* + 1) + 9 durch 3 teilbar, denn:
(*n* + 1)³ − 7(*n* + 1) + 9 = *n*³ + 3*n*² + 3*n* + 1 − 7*n* − 7 + 9 = *n*³ − 7*n* + 9 + 3*n*² + 3*n* − 6
und sowohl *n*³ − 7*n* + 9 als auch 3*n*² + 3*n* − 6 sind durch 3 teilbar.
Haben wir nun gezeigt, dass *n*³ − 7*n* + 9 für alle ganzzahligen *n* durch 3 teilbar ist? Nei-en! Wir haben das für alle nichtnegativen ganzzahligen *n* gezeigt. Fehlen noch die negativen! Also das Ganze noch mal für (*n* − 1)³ − 7(*n* − 1) + 9.
Oder gleich so:
(*n* ± 1)³ − 7(*n* ± 1) + 9 = *n*³ ± 3*n*² + 3*n* ± 1 − 7*n* ∓ 7 + 9 = *n*³ − 7*n* + 9 ± 3*n*² + 3*n* ∓ 6
ist durch 3 teilbar, weil sowohl *n*³ − 7*n* + 9 als auch ±3*n*² + 3*n* ∓ 6 durch 3 teilbar sind.
Wenn nun eine durch 3 teilbare Zahl prim sein soll, dann muss es die 3 selbst sein: *n*³ − 7*n* + 9 = 3, also *n*³ − 7*n* + 6 = 0.
Durch Probieren findet man ***n*₁ = 1**. Polynomdivision durch *n* − 1 ergibt *n*² + *n* − 6 = (*n* − 2)(*n* + 3). ***n*₂ = 2**; ***n*₃ = −3**.
Man könnte nun vielleicht auch argumentieren, dass *n*³ − 7*n* + 9 auch −3 sein dürfte. *n*³ − 7*n* + 12 = 0 hat aber keine ganzzahligen Lösungen.
1, 2 und −3 sind die einzigen ganzen Zahlen, für die *n*³ − 7*n* + 9 prim ist.
LLAP 🖖
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