Ellipsen überfordern mich - bitte um Hilfe

[Gunnar Bittersmann]

@@Felix Riesterer

Wenn die Achsen der beiden Ellipsen horizontal und vertikal liegen, sind die Ellipsen beschrieben durch
$$\displaystyle \left( \frac{x - x_1}{a_1} \right)^2 + \left( \frac{y - y_1}{b_1} \right)^2 = 1$$ und $$\displaystyle \left( \frac{x - x_2}{a_2} \right)^2 + \left( \frac{y - y_2}{b_2} \right)^2 = 1$$

Wir verschieben das Koordinatensystem: x′ = x − x₁; y′ = y − y₁. In diesem Koordinatensystem sind die Ellipsen beschrieben durch
$$\displaystyle \left( \frac{x'}{a_1} \right)^2 + \left( \frac{y'}{b_1} \right)^2 = 1$$ und $$\displaystyle \left( \frac{x' - \left( x_2 - x_1 \right)}{a_2} \right)^2 + \left( \frac{y' - \left( y_2 - y_1 \right)}{b_2} \right)^2 = 1$$

Wir stauchen das Koordinatensystem: x″ = x′ / a₁; y″ = y′ / b₁. In diesem Koordinatensystem sind die Ellipsen beschrieben durch
$$x''^2 + y''^2 = 1$$ und $$\displaystyle \left(\frac{ x'' - a_1 \left(x_2 - x_1 \right)}{a_1 a_2} \right)^2 + \left(\frac{ y'' - b_1 \left(y_2 - y_1 \right)}{b_1 b_2} \right)^2 = 1$$

Wir setzen x₀ = a₁(x₂ − x₁); a = a₁a₂; y₀ = b₁(y₂ − y₁); b = b₁b₂:
$$x''^2 + y''^2 = 1$$ und $$\displaystyle \left( \frac{x'' - x_0}{a} \right)^2 + \left( \frac{y'' - y_0}{b} \right)^2 = 1$$

Durch die Transformation des Koordinatensystens ist aus der ersten Ellipse der Einheitskreis geworden; die zweite Ellipse ist immer noch eine Ellipse (mit anderen Parametern). Dadurch haben wir das Problem vereinfacht:

Wir bestimmen den geringsten Abstand der Ellipse vom Kreis. Wir suchen den Punkt der Ellipse, der am nächsten am Mittelpunkt des Kreises, also dem Koordinatenursprung O liegt. Wenn dessen Abstand 1 ist, berühren sich Ellipse und Kreis; ist er kleiner als 1, dann schneiden sie sich.

Ellipse in Parameterdarstellung:
$$\begin{align}x'' &= a \cos t + x_0 \ \quad y'' &= b \sin t + y_0\end{align}$$

Quadratischer Abstand von O:
$$\begin{align}d^2(t) &= \left( a \cos t + x_0 \right)^2 + \left( b \sin t + y_0 \right)^2
&= a^2 \cos^2 t + 2a x_0 \cos t + x_0^2 + b^2 \sin^2 t + 2b y_0 \sin t + y_0^2\end{align}$$

Zur Bestimmung des Minimums:
$$\displaystyle \frac{\mathrm d d^2(t)}{\mathrm d t} = -2a^2 \sin t \cos t - 2a x_0 \sin t + 2b^2 \sin t \cos t + 2b y_0 \cos t = 0$$

Die Lösungen t₁ und t₂ dieser Gleichung ergeben den nächsten und den entferntesten Punkt der Ellipse von O. Wenn sowohl d²(t₁) > 1 als auch d²(t₂) > 1, schneiden oder berühren sich Ellipse und Einheitskreis nicht.

Um nur das Minimum zu erhalten, noch folgende Überlegung:
Liegt der Mittelpunkt der Ellipse im 1. Quadranten, also wenn x₀ ≥ 0 und y₀ ≥ 0, dann liegt der O nächste Punkt im linken unteren Viertel der Ellipse, also im Bereich π ≤ t ≤ ³⁄₂π.

Für den 2. Quadranten (x₀ ≤ 0, y₀ ≥ 0): rechts unten, ³⁄₂π ≤ t ≤ 2π.
Für den 3. Quadranten (x₀ ≤ 0, y₀ ≤ 0): rechts oben, 0 ≤ t ≤ ½π.
Für den 4. Quadranten (x₀ ≥ 0, y₀ ≤ 0): links oben, ½π ≤ t ≤ π.

Man kann also ξ = −|x₀| und ζ = −|y₀| nehmen und die Lösung von
$$-2a^2 \sin t \cos t - 2a \xi \sin t + 2b^2 \sin t \cos t + 2b \zeta \cos t = 0$$
für t im Bereich [0, ½π] bestimmen.

Fehlt nur noch der Weg, die (Näherungs-)Lösung dieser Gleichung zu bestimmen. An der Stelle kann jetzt jemand anders übernehmen.

LLAP 🖖