Ellipsen überfordern mich - bitte um Hilfe

[Rolf B]

Hallo Gunnar,

Dadurch haben wir das Problem vereinfacht…

Bis dahin verfolgst Du den gleichen Ansatz wie ich gestern Nacht. Danke für die mathematische Formulierung :)

Bevor man das Minimum anwendet, muss man aber sicherstellen, dass der Mittelpunkt des Einheitskreises außerhalb der Ellipse liegt. Durch Einsetzen von $$(x'',y'')=(0,0)$$ in deine 8. Gleichung müsste sich das feststellen lassen, es müsste dafür $$(\frac{x_0}{a})^2+(\frac{y_0}{b})^2 \gt 1$$ erfüllt sein. Andernfalls würde ich vermuten, dass das Minimum zu einem falschen Ergebnis führt.

Die Quadrantenprüfung müsste man optimieren können, indem man die "untere" Ellipse zum Einheitskreis transformiert (Referenzpunkt wäre der Mittelpunkt des Hüll-Rechtecks).

Ob die Minimumsuche deiner trigonometrischen Funktion meiner Abfragekette überlegen ist, wäre nun die spannende Frage. Bei mir ist etliches an Abständen zu bestimmen und Schnittpunkte zu finden. Bei Dir könnte man noch optimieren:

$$\begin{align} & &-2a^2 \sin t \cos t - 2a \xi \sin t + 2b^2 \sin t \cos t + 2b \zeta \cos t &= 0
\Longleftrightarrow & &(b^2 - a^2) \sin t \cos t - a \xi \sin t + b \zeta \cos t &= 0 \end{align}$$

Es sieht aber trotzdem recht mühsam aus, darauf Newton anzuwenden (da müsste man noch einmal ableiten).

Rolf