Mathematik zum Wochenende
bearbeitet von Gunnar Bittersmann@@Gunnar Bittersmann
Wo ich meine Lösung schon abschickbereit im Editor hatte, will ich sie auch noch in die Runde werfen. Die zu Aufgabe 1 ähnelt der von Rolf (wo er von „Symmetrie an Drachen“ spricht, spreche ich von kongruenten Dreiecken) und scheint mir einfacher als die von ottogal.
ottogals Lösung zur Aufgabe 2 scheint mir sehr elegant. – Sich auf eine Lösung zu einer vorherigen Aufgabe zu beziehen schien mir aber auch elegant. 😉
#Aufgabe 1
Wie immer™ kommt es auf das Einzeichnen der richtigen Hilfslinien an:
[![Skizze 1](/images/3dd9551c-ead5-41a7-99b8-8aec90acfbb9.png?size=medium)](/images/3dd9551c-ead5-41a7-99b8-8aec90acfbb9.png)
*M* Mittelpunkt des Halbkreises, o.B.d.A. Seitenlänge des Quadrats: 1.
*MC* ≡ *MC*, *MF* = *MD* = ½ (Radien), ∡*MFC* = ∡*MDC* = 1∟ ⇒ △*CFM* ≅ △*CDM* (SSW) ⇒ *CF* = *CD* = 1.
*MG* ≡ *MG*, *MA* = *MF* = ½ (Radien), ∡*MAG* = ∡*MFG* = 1∟ ⇒ △*GAM* ≅ △*GFM* (SSW) ⇒ *GA* = *GF*.
Seien *α* = ∡*AMG* = ∡*FMG*, *α*′ = ∡*FCM* = ∡*DCM*, *β* = ∡*CMF* = ∡*CMD*.
Gestreckter Winkel: 2*α* + 2*β* = 2∟, also *α* + *β* = 1∟.
Wegen Innenwinkelsumme *α*′ + *β* + 1∟ = 2∟, also *α*′ + *β* = 1∟, folglich *α*′ = *α* ⇒ △*GAM* ∼ △*CDM*.
*GA* : *MA* = *GA* : ½ = *MD* : *CD* = 1 : 2 ⇒ *GA* = *GF* = ¼.
*BG* : *BC* : *CG* = (1 − ¼) : 1 : (1 + ¼) = 3 : 4 : 5.
#Aufgabe 2
Und noch eine Hilfslinie mehr: *FD* schneidet *MC* in *H*.
[![Skizze 2](/images/845d4bea-ed3e-4b75-8a4c-a0a44fdfa8c0.png?size=medium)](/images/845d4bea-ed3e-4b75-8a4c-a0a44fdfa8c0.png)
*HC* ≡ *HC*, *CF* = *CD* = 1, ∡*HCF* = ∡*HCD* (s.o.) ⇒ △*CHF* ≅ △*CHD* (SSW) ⇒ ∡*FHC* = ∡*DHC* = 1∟.
Damit ist △*CHD* ∼ △*CDM* ⇒ *CH* :*DH* = *CD* : *MD* = 2 : 1. Sei *DH* = *a*, *CH* = 2*a*.
Wir erinnern uns an @encoders [Plan](https://forum.selfhtml.org/self/2018/feb/21/mathematik-zur-wochenmitte/1714720#m1714720) und zerlegen das Quadrat in 4 kongruente Dreiecke mit den Seitenlängen *a* und 2*a* und ein Quadrat mit der Seitenlänge *a*.
[![Skizze 3](/images/1cdefacd-9bb6-4f67-8c99-8e4768aee39f.png?size=medium)](/images/1cdefacd-9bb6-4f67-8c99-8e4768aee39f.png)
Die Fläche *ABCD* ist 4 × ½*a* × 2*a* + *a*² = 5*a*² = 1, also *a*² = ⅕. Und nein, wir ziehen hier nicht die Wurzel.
Da *E* Mittlepunkt der Figur ist, ist die Höhe des Dreiecks *DEF* zur Grundseite *FD* gleich ½*a*, seine Fläche folglich ½ × 2*a* × ½*a* = ½*a*² = ⅟₁₀. Das ist dann auch das gesuchte Verhältnis zur Fläche *ABCD*.
LLAP 🖖
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*„Wer durch Wissen und Erfahrung der Klügere ist, der sollte nicht nachgeben. Und nicht aufgeben.“* —Kurt Weidemann