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Genau wie letztens auch wieder ohne Pythagoras oder noch schlimmere Dinge wie Wurzeln oder Winkelfunktionen, sondern nur über Verhältnisse:
Warum ist es eigentlich verpönt, den Satz des Pythagoras zu benutzen? (Und was ist an Wurzeln schlimm?)
Alles über Verhältnisse zu machen (hier insbesondere über die Seitenverhältnisse ähnlicher rechtwinkliger Dreiecke) wiederholt ja eigentlich einen herkömmlichen Beweis für den Pythagoras-Satz. Ihn anzuwenden, entspricht doch eigentlich dem gern gepflegten Prinzip DRY (Don't Repeat Yourself) - und genau dieses ist doch gerade die Motivation für sehr viele Begriffsbildungen in der Mathematik.
Klar ist es schwierig, die Grenze zu ziehen, bis wohin man Sätze zur Begründung heranziehen kann/darf/soll. (Ich habe hier in unserer Runde mal auf ein Additionstheorem des Tangens aus der Formelsammlung zurückgegriffen - das war sicher grenzwertig.) Aber Pythagoras, den doch wohl schon. Mit dem wäre doch der erste Teil unserer Aufgabe so schön zu lösen gewesen:
Bei der Quadratseite 1 erhält man unter Verwendung der Gleichheit der jeweiligen Tangentenabschnitte CF=CD=1 und GF=GA=x für das rechtwinklige Dreieck GCB die Hypotenuse 1+x und die Katheten 1-x und 1, also nach Pythagoras die Gleichung
(1+x)² = (1-x)² +1²
die (weil das x² herausfällt) eine lineare Gleichung ist, mit der Lösung x=1/4. Damit bekommt man sofort die Katheten 3/4 und 1 und die Hypotenuse 5/4, also das Ergebnis 3:4:5.
Übrigens gibt es viele Versuche, den Satz von Pythagoras auf neuem, von niemandem vorher gegangenen Weg zu beweisen, und dabei sind manche Mathematiker kläglich auf die Nase gefallen: Ihre vermeintlichen Beweise wurden in Fachzeitschriften publiziert, die sie später unter großer Peinlichkeit zurückziehen mussten. Die lehrreichen Beispiele fand ich bei cut-the-knot.org:
Pythagorean Theorem: Some False Proofs
Wenn wir bei den hier unter uns ausgetauschten Beweis-Aufgaben manchmal daneben liegen, können wir uns also damit trösten, nicht allein zu sein.
Gunnar Bittersmann
Rolf B