Mathematik zum Wochenende - Zusatzaufgabe

[ottogal]

„Aber wem erzähle ich das? Dem wissend zwinkernden? Wahrscheinlich doch nur dem Archiv.“ [at]

In diesem Sinne: Hier auch noch meine nahezu gleiche Lösung (nach Kurzurlaub wieder im Zugriff auf meiner Festplatte):

Da die Zerlegung punktsymmetrisch zum Mittelpunkt E ist, genügt es, die Gleichheit der Flächen A1 bis A5 zu zeigen.

A1 = A2:

Wegen der Punktsymmetrie ist E der Mittelpunkt von BD, also haben A1 und A2 gleiche Grundseite mit gemeinsamer Höhe.

A2 = A3:

KE ist parallel zu AB, und H ist der Mittelpunkt von AB. Nach dem 1. Strahlensatz (mit Zentrum D) ist daher auch S der Mittelpunkt von KE. Der 2. Strahlensatz (mit Zentrum S) ergibt dann, dass die Lote von K bzw E auf FD gleich lang sind. Also haben die Dreiecke A2 und A3 zu der gemeinsamen Grundseite FD die gleiche Höhe.

A3 = A4:

Die Dreiecke haben gleiche Grundseite 1/2 und besitzen dieselbe Höhe.

A4 = A5:

FR bzw. FT seien die Lotstrecken von F auf AB bzw. auf AD.

Die rechtwinkligen Dreiecke FRA, HFA und HAD sind zueinander ähnlich mit dem Kathetenverhältnis 1:2, insbesondere gilt FT = 2 FR. Nun ist aber AK = 1/2 AB, d.h. Dreieck A5 hat doppelte Grundseite, aber halbe Höhe wie A4.