Mathematik zum Wochenende - Lösung
bearbeitet von Gunnar Bittersmann@@ottogal
> Bevor ich auch auf die eigentlich ins Auge springende Lösung von Matthias gekommen bin
Ich hab meine Augen erfolgreich davor geschützt, dass mir da was reinspringt. 😎
> hatte ich umständlich mit Trigonometrie herumgerechnet.
Ich bin jetzt nicht jeden einzelnen Schritt durchgegangen, hab aber einiges wiedererkannt. Ich glaube, ich hab’s so ähnlich, wenn nicht gar genauso gemacht:
> [![](/images/dacd88ac-053f-42ee-9a2e-e2d65d5b9c62.png?size=medium)](/images/dacd88ac-053f-42ee-9a2e-e2d65d5b9c62.png)
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> O.B.d.A.: Seitenlänge des Quadrats *ABCD* 1, Viertelkreis um *A*, darauf Punkt *P*.
> Tangente in *P* schneidet *BC* in *Q* und *CD* in *R*.
> *S* und *T* Fußpunkte der Lote von *P* auf *BC* bzw. *CD*.
> ∠*BAP* = *φ*, ebenso groß sind ∠*CQR* und ∠*TPR*.
>
> Es ist *DT* = cos *φ* = *c* und *BS* = sin *φ* = *s*.
> Folglich *TC* = 1 − *c* und *PT* = *SC* = 1 − *s*.
>
> tan *φ* = *RT*/*PT*, also *RT* = *s*/*c* (1 − *s*).
> *RC* = *s*/*c* (1 − *s*) + 1 − *c* = 1/*c* (*s* − *s*² + *c* − *c*²) = 1/*c* (*s* + *c* − 1).
>
> tan *φ* = *RC*/*QC*, folglich *QC* = *c*/*s* *RC* = 1/*s* (*s* + *c* − 1).
> sin *φ* = *RC*/*RQ*, folglich *RQ* = 1/*s* *RC* = 1/*sc* (*s* + *c* − 1).
>
> Umfang: (1/*c* + 1/*s* + 1/*sc*) (*s* + *c* − 1) = 1/*sc* (*s* + *c* + 1) (*s* + *c* − 1) = 1/*sc* ((*s* + *c*)² − 1) = 1/*sc* (*s*² + 2*sc* + *c*² − 1) = 1/*sc* (1 + 2*sc* − 1) = 2.
>
> Oder geht’s mal wieder noch viel einfacher?
LLAP 🖖
--
*„Wer durch Wissen und Erfahrung der Klügere ist, der sollte nicht nachgeben. Und nicht aufgeben.“* —Kurt Weidemann
Mathematik zum Wochenende - Lösung
bearbeitet von Gunnar Bittersmann@@ottogal
> Bevor ich auch auf die eigentlich ins Auge springende Lösung von Matthias gekommen bin
Ich hab meine Augen erfolgreich davor geschützt, dass mir da was reinspringt. 😎
> hatte ich umständlich mit Trigonometrie herumgerechnet.
Ich bin jetzt nicht jeden einzelnen Schritt durchgegangen, hab aber einiges wiedererkannt. Ich glaube, ich hab’s so ähnlich, wenn nicht gar genauso gemacht.
LLAP 🖖
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*„Wer durch Wissen und Erfahrung der Klügere ist, der sollte nicht nachgeben. Und nicht aufgeben.“* —Kurt Weidemann