Mathematik zum Wochenende - Lösung

[Gunnar Bittersmann]

@@ottogal

Bevor ich auch auf die eigentlich ins Auge springende Lösung von Matthias gekommen bin

Ich hab meine Augen erfolgreich davor geschützt, dass mir da was reinspringt. 😎

hatte ich umständlich mit Trigonometrie herumgerechnet.

Ich bin jetzt nicht jeden einzelnen Schritt durchgegangen, hab aber einiges wiedererkannt. Ich glaube, ich hab’s so ähnlich, wenn nicht gar genauso gemacht:

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O.B.d.A.: Seitenlänge des Quadrats ABCD 1, Viertelkreis um A, darauf Punkt P.
Tangente in P schneidet BC in Q und CD in R.
S und T Fußpunkte der Lote von P auf BC bzw. CD. ∠BAP = φ, ebenso groß sind ∠CQR und ∠TPR.

Es ist DT = cos φ = c und BS = sin φ = s. Folglich TC = 1 − c und PT = SC = 1 − s.

tan φ = RT/PT, also RT = s/c (1 − s).
RC = s/c (1 − s) + 1 − c = 1/c (s − s² + c − c²) = 1/c (s + c − 1).

tan φ = RC/QC, folglich QC = c/s RC = 1/s (s + c − 1).
sin φ = RC/RQ, folglich RQ = 1/s RC = 1/sc (s + c − 1).

Umfang: (1/c + 1/s + 1/sc) (s + c − 1) = 1/sc (s + c + 1) (s + c − 1) = 1/sc ((s + c)² − 1) = 1/sc (s² + 2sc + c² − 1) = 1/sc (1 + 2sc − 1) = 2.

Oder geht’s mal wieder noch viel einfacher?

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Ja, geht.

LLAP 🖖