Rolf B: Mathematik zum Wochenende - Lösung

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Hallo Tabellenkalk,

Aber der Schnittpunkt zweier Tangenten desselben Kreises muss von beiden Berührpunkten gleich weit entfernt sein.

Ich beweise das mal für Dich. Das ist so ein typischer Banalbeweis, wo die Schwierigkeit in der Frage liegt, was man da eigentlich beweisen muss :)

Seien B₁ und B₂ Punkte auf dem Umfang des Kreises um M. Bei B₁ und B₂ seine Tangenten an den Kreis angetragen. T sei der Schnittpunkt dieser Tangenten. Der Fall, dass M, B₁ und B₂ auf einer Geraden liegen, wird nicht betrachtet, da die Tangenten dann parallel sind und kein Schnittpunkt T existiert. Die oben stehende Skizze zeigt den Fall, dass der Winkel B₂MB₁ kleiner als 180° ist. Ist er größer, stelle man sich das Bild gespiegelt vor. Für den Beweis ist das unerheblich.

Die Winkel MB₁T und MB₂T sind rechte, weil sie von einem Radius und einer Tangente gebildet werden. B₁ und B₂ liegen auf dem Kreisumfang, daher entspricht die Länge der Strecken MB₁ und MB₂ dem Kreisradius. Die Dreiecke MTB₁ und MTB₂, mit der gemeinsamen Seite MT, besitzen also zwei gleiche Seiten und einen - der längeren Seite gegenüberliegenden - gleichen Winkel und sind damit SSW-kongruent. Daraus folgt TB₁ = TB₂.

Ja, und da isser, der Drache.

Rolf

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