@@Matthias Apsel > Annahme: $$\sqrt{a}+\sqrt{b}$$ ist rational > > Es gilt: $$\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\cdot\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)=a-b$$ > > Da $$a-b$$ rational ist, müssen beide Faktoren rational sein. Ähm, so kannste das nicht begründen. Bei $$\left(\sqrt{5}+1\right)\cdot\left(\sqrt{5}-1\right)=5-1$$ ist die rechte Seite auch rational, aber beide Faktoren auf der linken Seite sind irrational. So geht’s (vielleicht meintest du das auch): Wenn $$a-b$$ und $$\sqrt{a}+\sqrt{b}$$ rational sind, dann ist auch $$\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$$ rational.   > unter Verwendung der 3. binomischen Formel (😝) Sachen gibt’s, die gibt’s gar nicht. Ich hab die 2. binomische Formel verwendet – welche eine binomische Formel *ist*, aber nicht unbedingt die zweite, sondern auch bloß die erste (also: die eine) in anderem Gewand (mit umgekehrtem Vorzeichen von *b*). Also mal angenommen, s = √*a* + √*b* wäre rational (mit √*a* und √*b* irrational). $$\begin{align} s - \sqrt{a} &= \sqrt{b} \\ \left( s - \sqrt{a} \right)^2 = s^2 - 2s\sqrt{a} + a &= b \\ - 2s\sqrt{a} &= -a + b - s^2 \\ \sqrt{a} &= \frac{a - b + s^2}{2s} \end{align}$$ Die rechte Seite ist rational, damit ist √*a* rational, was im Widerspruch zur Voraussetzung steht. LLAP 🖖 -- *„Wer durch Wissen und Erfahrung der Klügere ist, der sollte nicht nachgeben. Und nicht aufgeben.“* —Kurt Weidemann

@@Matthias Apsel > Annahme: $$\sqrt{a}+\sqrt{b}$$ ist rational > > Es gilt: $$\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\cdot\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)=a-b$$ > > Da $$a-b$$ rational ist, müssen beide Faktoren rational sein. Ähm, so kannste das nicht begründen. Bei $$\left(\sqrt{5}+1\right)\cdot\left(\sqrt{5}-1\right)=5-1$$ ist die rechte Seite auch rational, aber beide Faktoren auf der linken Seite sind irrational. So geht’s (vielleicht meintest du das auch): Wenn $$a-b$$ und $$\sqrt{a}+\sqrt{b}$$ rational sind, dann ist auch $$\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$$ rational.   > unter Verwendung der 3. binomischen Formel (😝) Sachen gibt’s, die gibt’s gar nicht. Ich hab die 2. binomische Formel verwendet – welche eine binomische Formel *ist*, aber nicht unbedingt die zweite, sondern auch bloß die erste in anderem Gewand (mit umgekehrtem Vorzeichen von *b*). Also mal angenommen, s = √*a* + √*b* wäre rational (mit √*a* und √*b* irrational). $$\begin{align} s - \sqrt{a} &= \sqrt{b} \\ \left( s - \sqrt{a} \right)^2 = s^2 - 2s\sqrt{a} + a &= b \\ - 2s\sqrt{a} &= -a + b - s^2 \\ \sqrt{a} &= \frac{a - b + s^2}{2s} \end{align}$$ Die rechte Seite ist rational, damit ist √*a* rational, was im Widerspruch zur Voraussetzung steht. LLAP 🖖 -- *„Wer durch Wissen und Erfahrung der Klügere ist, der sollte nicht nachgeben. Und nicht aufgeben.“* —Kurt Weidemann