Mathematik zum Wochenende - Lösung und Zusatzaufgabe

[Gunnar Bittersmann]

@@Matthias Apsel

Annahme: $$\sqrt{a}+\sqrt{b}$$ ist rational

Es gilt: $$\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\cdot\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)=a-b$$

Da $$a-b$$ rational ist, müssen beide Faktoren rational sein.

Ähm, so kannste das nicht begründen. Bei $$\left(\sqrt{5}+1\right)\cdot\left(\sqrt{5}-1\right)=5-1$$ ist die rechte Seite auch rational, aber beide Faktoren auf der linken Seite sind irrational.

So geht’s (vielleicht meintest du das auch): Wenn $$a-b$$ und $$\sqrt{a}+\sqrt{b}$$ rational sind, dann ist auch $$\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$$ rational.

unter Verwendung der 3. binomischen Formel (😝)

Sachen gibt’s, die gibt’s gar nicht.

Ich hab die 2. binomische Formel verwendet – welche eine binomische Formel ist, aber nicht unbedingt die zweite, sondern auch bloß die erste (also: die eine) in anderem Gewand (mit umgekehrtem Vorzeichen von b).

Also mal angenommen, s = √a + √b wäre rational (mit √a und √b irrational).

$$\begin{align} s - \sqrt{a} &= \sqrt{b}
\left( s - \sqrt{a} \right)^2 = s^2 - 2s\sqrt{a} + a &= b \

• 2s\sqrt{a} &= -a + b - s^2
  \sqrt{a} &= \frac{a - b + s^2}{2s} \end{align}$$

Die rechte Seite ist rational, damit ist √a rational, was im Widerspruch zur Voraussetzung steht.

LLAP 🖖