Mathematik zum Wochenende - Lösung und Zusatzaufgabe

[ottogal]

Mein peinlicher Fehlschluss nochmal beleuchtet:

Wir nehmen das Gegenteil an: Es gebe (O.B.d.A. teilerfremde) natürliche zahlen $$p$$, $$q$$ mit

$$\sqrt{cd}=\frac{p}{q}$$.

Es folgt $$cd=\frac{p²}{q²}$$, $$p²=cd \cdot q²$$.

$$p²$$ hat also den Teiler $$cd$$, daher muss auch $$p$$ den Teiler $$cd$$ haben, etwa $$p=cd \cdot r$$.
...

Wenn auch nur eine der Zahlen c oder d eine Quadratzahl ist, ist dieser Schluss
(von $$cd$$ teilt $$p²$$ auf $$cd$$ teilt $$p$$) falsch.

Ist z.B. $$d=n²$$, so folgt aus $$p²=c\cdot n² \cdot q²$$ nur dass $$c$$ auch $$p$$ teilen muss (aber auch nur falls $$c$$ nicht auch Quadratzahl ist).

P.S. Ich freu mich schon auf die nächste Geometrie-Aufgabe... 📐