Vielen Dank noch mal für die Antworten, ich habe es jetzt so gelöst:
-webkit-user-select: none; /* Safari 3.1+ */
-moz-user-select: none; /* Firefox 2+ */
-ms-user-select: none; /* IE 10+ */
user-select: none; /* Standard syntax */
(Quelle)
Ich hatte mich etwas unklar ausgedrückt, und meinte mit Cursor eigentlich den Selektor.
cursor:none
führte dann auch zu dem von mir nicht beabsichtigten Ergenbis, den Mauszeiger zu verstecken.