Mathematik zum Wochenende – Lösung der Zusatzaufgabe

[Rolf B]

Hallo Gunnar,

ich versuche mal, es etwas besser aufzuschreiben als in meiner Post an Dich.

Dies sind die Faktoren, die in 2019! eingehen:

          1
          2
          3
          4
          5
          6
          7
          8
          9
         10
          :
         20
          :
         :
         90
          :
        100
          :
        110
          :
        120
         :
        190
          :
        200
        :
        900
          :
       1000
       1001
         :
       1999
       2000
       2001
          :
       2009
       2010
       2011
          :
       2019

Die Zahlen 1-2019 setzen sich aus 202 9er Gruppen mit Endziffern 1-9 zusammen, plus der dazwischenliegenden Zahlen mit 1, 2 oder 3 Endnullen.

Eine solche 9er Gruppe hat, wie schon gezeigt, die gleiche Endziffer wie 9! = 362880, also 8.

Entfernt man die 202 9er Gruppen aus Zahlen, deren Endziffer nicht 0 ist, und dividiert die verbleibenden 201 Zahlen durch 10, entsteht das Muster für die verbleibenden Zahlen neu. Die Folge ist selbstähnlich, deswegen sprach ich in der Post an Gunnar davon, dass die Lösung ein Fraktal sei.

In den 201 verbleibenden Zahlen findet man 20 Gruppen mit Endziffer 1-9 (die Zehnerstellen aus der urspünglichen Folge), sowie einmal die Ziffer 1 (aus der 2010). Die nächste Iteration führt zu 2 Gruppen (die Hunderterstellen) und die dritte Iteration zu den Tausendern 1 und 2.

In Summe haben wir 224 Gruppen aus den Endziffern 1-9, wir brauchen also die Endziffer von $$8^{224}$$. Wie früher im Thread gezeigt, hat die Potenzfolge der 8 einen Viererzyklus in ihren Endziffern, und weil $$224 \bmod 4 = 0$$, ist die Endziffer dieser Potenz wieder 8.

Hinzu kommen die Tausenderstellen von 1000 und 2000 sowie die Zehnerstelle von 2010. $$8 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1 = 16$$, die gesuchte Ziffer lautet also 6.

Rolf