Hallo Matthias Apsel, der offensichtliche Weg: [](/images/01c7005c-7d5d-11ea-a215-b42e9947ef30.png) die blaue Fläche ist die halbe Differenz der Kreissegmente mit den Zentriwinkeln $$\frac{2}{3}\pi$$ und $$\frac{\pi}{3}$$. $$\mathrm{A} = \frac{1}{2} \frac{r^2}{2} \left( \left( \frac{2}{3}\pi - sin\frac{2}{3}\pi \right) - \left( \frac{\pi}{3} - sin\frac{\pi}{3} \right)\right) = \frac{\pi}{12}r^2$$ Diesen Lösungsweg beschritten @Rolf B, @Gunnar Bittersmann, @MudGuard (leider fehlerhaft, mit demselben Fehler, den auch ich zuerst gemacht habe). Auf Twitter fand ich die Lösung „Trapez + Segment“, … [](/images/88c3a57e-7d67-11ea-823c-b42e9947ef30.png) $$\mathrm{A}=\frac{r^2}{2}\left(sin\frac{\pi}{3}-sin\frac{\pi}{6}\right)\left(sin\frac{\pi}{3}+sin\frac{\pi}{6}\right) + \frac{\pi}{12}r^2-\frac{1}{2}sin\frac{\pi}{6}$$ $$\mathrm{A}=\frac{r^2}{2}\left(sin^2\frac{\pi}{3}-sin^2\frac{\pi}{6}\right) + \frac{\pi}{12}r^2-\frac{r^2}{2}sin\frac{\pi}{6}$$ $$\mathrm{A}=\frac{r^2}{2}\left(\frac{3}{4}-\frac{1}{4}\right) + \frac{\pi}{12}r^2-\frac{r^2}{4}$$ … die mich auf die Idee brachte nach dem Umfang zu fragen. @Gunnar Bittersmann hat die Integralrechnung verwendet: $$\mathrm{A}=\int\limits_{sin\frac{\pi}{6}}^{sin\frac{\pi}{3}} \sqrt{1-x^2} \mathrm{d}x$$ Aber die in meinen Augen geschickteste Beweisidee kam von (ich bin fast geneigt zu sagen wie immer) von @ottogal. Die dampfe ich mal auf ein Minimum zusammen um sie nicht gleich in Gänze zu verraten, sondern im Gegenteil zum Nachdenken anzuregen: [](/images/85838b5e-7d71-11ea-9c30-b42e9947ef30.png) Durch die Drittelung des Bogens entstehen Kreissektoren der Fläche $$\frac{\pi}{12}r^2$$. Wie man sehen kann, ist eine Fläche, so groß wie zwei dieser Sektoren, nicht gefärbt. Chapeau. Bis demnächst Matthias -- Du kannst das Projekt SELFHTML unterstützen, indem du bei Amazon-Einkäufen [Amazon smile](https://smile.amazon.de/ch/314-570-45498) ([Was ist das?](https://www.amazon.de/gp/help/customer/display.html?ie=UTF8&nodeId=202035970])) nutzt.

Hallo Matthias Apsel, der offensichtliche Weg: [](/images/01c7005c-7d5d-11ea-a215-b42e9947ef30.png) die blaue Fläche ist die halbe Differenz der Kreissegmente mit den Zentriwinkeln $$\frac{2}{3}\pi$$ und $$\frac{\pi}{3}$$. $$\mathrm{A} = \frac{1}{2} \frac{r^2}{2} \left( \left( \frac{2}{3}\pi - sin\frac{2}{3}\pi \right) - \left( \frac{\pi}{3} - sin\frac{\pi}{3} \right)\right) = \frac{\pi}{12}r^2$$ Diesen Lösungsweg beschritten @Rolf B, @Gunnar Bittersmann, @MudGuard (leider fehlerhaft, mit demselben Fehler, den auch ich zuerst gemacht habe). Auf Twitter fand ich die Lösung „Trapez + Segment“, … [](/images/88c3a57e-7d67-11ea-823c-b42e9947ef30.png) $$\mathrm{A}=\frac{r^2}{2}\left(sin\frac{\pi}{3}-sin\frac{\pi}{6}\right)\left(sin\frac{\pi}{3}+sin\frac{\pi}{6}\right) + \frac{\pi}{12}r^2-\frac{1}{2}sin\frac{\pi}{6}$$ $$\mathrm{A}=\frac{r^2}{2}\left(sin^2\frac{\pi}{3}-sin^2\frac{\pi}{6}\right) + \frac{\pi}{12}r^2-\frac{r^2}{2}sin\frac{\pi}{6}$$ $$\mathrm{A}=\frac{r^2}{2}\left(\frac{3}{4}-\frac{1}{4}\right) + \frac{\pi}{12}r^2-\frac{r^2}{4}$$ … die mich auf die Idee brachte nach dem Umfang zu fragen. @Gunnar Bittersmann hat die Integralrechnung verwendet: $$\mathrm{A}=\int\limits_{\pi/6}^{\pi/3} \sqrt{1-x^2} \mathrm{d}x$$ Aber die in meinen Augen geschickteste Beweisidee kam von (ich bin fast geneigt zu sagen wie immer) von @ottogal. Die dampfe ich mal auf ein Minimum zusammen um sie nicht gleich in Gänze zu verraten, sondern im Gegenteil zum Nachdenken anzuregen: [](/images/85838b5e-7d71-11ea-9c30-b42e9947ef30.png) Durch die Drittelung des Bogens entstehen Kreissektoren der Fläche $$\frac{\pi}{12}r^2$$. Wie man sehen kann, ist eine Fläche, so groß wie zwei dieser Sektoren, nicht gefärbt. Chapeau. Bis demnächst Matthias -- Du kannst das Projekt SELFHTML unterstützen, indem du bei Amazon-Einkäufen [Amazon smile](https://smile.amazon.de/ch/314-570-45498) ([Was ist das?](https://www.amazon.de/gp/help/customer/display.html?ie=UTF8&nodeId=202035970])) nutzt.