Mathematik zur Abkühlung – Lösung

[Rolf B]

Hallo Matthias,

danke für die Weiterleitung. Hier also mein Ansatz. Ganz anders... Aus irgendeinem Grund jammert das Forum immer ein Uups, wenn ich mein Bild hochladen will. Ich verlinke es also einfach. Externe Imagelinks scheinen ja auch nicht zu gehen.

http://images.borchmann.one/Cooldown-August2020.PNG

Im Falle von P=(3|0) ergibt sich ein nettes rechtwinkliges 3-4-5 Dreieck mit dem Winkel <EPS = α. Der findet sich als Stufenwinkel auch oben am kleinen Dreieck QCK wieder.

Ich habe nun noch den Halbkreis zu einem Vollkreis ergänzt. Bei Punkt C findet sich ein Peripheriewinkel über der Sehne DS, und der beträgt 45°. Weil's ja die Quadratdiagonale ist. Und weil es ein Peripheriewinkel ist, beträgt auch der Winkel DKS 45°.

Nun kann ich den Sinussatz anwenden.

$$\displaystyle \frac{\overline{QC}}{sin45°} = \frac{x}{sin(135°-\alpha)}$$

QC ist wegen der Symmetrie am Quadrat gleich OP, und sin(135°-α) „vereinfacht“ sich mit Additionstheorem zu $$\frac{\sqrt 2}{2}(\cos \alpha + \sin \alpha)$$. Mit $$\sin 45° = \frac{\sqrt 2}{2}$$ folgt daraus

$$x = \overline{OP} (\cos \alpha + \sin \alpha)$$

Fun Fact: Die Größe des Quadrats ist für die Länge von x komplett egal.

Im Falle unseres 3-4-5 Dreiecks ist $$\cos \alpha = 0,6$$ und $$\sin \alpha = 0{,}8$$, QK hat also die Länge

$$\overline{QK} = x = 1{,}4\cdot OP = 4{,}2$$

Die Länge von SQ ist gleich der Länge von PS, und wegen unseres 3-4-5 Dreiecks ist das die halbe Quadratseitenlänge plus 25%, also 15. Die Länge von SK ist also 19.2.

Für ein beliebiges P muss man dann wohl umständlicher rechnen. Falls P in der Seitenmitte liegt, ergibt sich SK=a als Sonderfall, und für ein kleineres OP ergibt sich α als Arcustangens:

$$\displaystyle \alpha = \arctan \frac{a/2}{a/2 - \overline{OP}}= \arctan \frac{a}{a - 2\overline{OP}}$$

und die Länge von SK mittels Phythagoras. Also

$$\overline{SK}$$
$$= \overline{PS} + x$$
$$\displaystyle = \sqrt{\Bigl(\frac{a}{2}\Bigr)^2 + \Bigl(\frac{a}{2} - \overline{OP}\Bigr)^2} + \overline{OP} \Bigl(\cos \arctan \frac{a}{a - 2\overline{OP}} + \sin \arctan \frac{a}{a - 2\overline{OP}}\Bigr)$$

Es gibt zwar Ersatzformeln für sin(arctan x) und cos(arctan x), und die kann man einsetzen wenn man die Formel programmieren will, die machen die Lösung aber nicht übersichtlicher…

Oder gefällt Dir dies hier besser als die Summe von sin arctan und cos arctan?

$$\displaystyle \frac{1+\frac{a}{a - 2\overline{OP}}}{\sqrt{1+\Bigl(\frac{a}{a - 2\overline{OP}}\Bigr)^2}}$$

Ja. Soweit meine Post an Matthias. Meine Arctan-Ersatzformel und sein Sehnensatzergebnis riechen leicht ähnlich, und vielleicht kann man mit der Algebratrickkiste das eine in das andere überführen. Vielleicht hab ich auch irgendwo eine Klasser oder ein Quadrat verschlunzt. Aber das analysiere nicht mehr heute und auch nicht dieses Wochenende.

Rolf