Mathematik aus Anlass Phoebes Entdeckung – Lösung

[Matthias Apsel]

Hallo Matthias Apsel,

Das Bild zeigt 5 Halbkreise.

Obwohl es nicht dasteht: Die Halbkreise sind kongruent, sowohl ihre Mittelpunkte als auch ihre Schnittpunkte bilden ein gleichseitiges Fünfeck.
Wir vereinbaren, dass der Radius der Halbkreise $$1$$ sei, die Seitenlänge des Fünfecks ist damit $$2$$, der Flächeninhalt des Fünfecks mithin $$\sqrt{25 + 10\sqrt{5}}$$.

Das Viereck M₁BM₂C ist ein Rhombus mit der Seitenlänge 1, die Innenwinkel des Fünfecks (z. B. ∠M₁BM₂) betragen 108°, der Winkel ∠HM₁B beträgt deshalb 72°. Damit können wir jetzt den Flächeninhalt eines Zweiecks berechnen:

$$\mathrm{A} = \frac{2}{5}\pi - \sin(72°)$$

Der Sinuswert ergibt sich zu $$\sqrt{\frac{5}{8}+\frac{\sqrt{5}}{8}}$$, der Inhalt der blauen Flächen ist damit

$$\mathrm{A_{blau}} = 2\pi - 5\sqrt{\frac{5}{8}+\frac{\sqrt{5}}{8}}$$

Die orange Fläche ergibt sich als Fläche des Fünfecks, vermindert um die Fläche von 5 Halbkreisen zuzüglich der (ansonsten doppelt abgezogenen) blauen Zweiecke.

Als numerisches Resultat für das Verhältnis ergibt sich 0.3637867…

Richtige Lösungen kamen von @Gunnar Bittersmann, @Rolf B und @ottogal. @Rolf B fand zudem mit $$\frac{8}{7\pi}$$ einen schönen Näherungswert^[1], die Differenz zum korrekten Wert ist 0,000004…

Bis demnächst
Matthias

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1. Ich weiß gar nicht, ob Näherungswert in diesem Fall der richtige Begriff ist. ↩︎