Primarstufenmathematik zum Wochenende, -anfang und darüber hinaus – Lösung
bearbeitet von
Hallo Matthias Apsel,
> [](/images/4a3f7f6a-21a6-11eb-aa09-b42e9947ef30.png)
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> Der schwierigste Aufgabentyp ist dabei, die drei äußeren Zahlen vorzugeben.
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> a) Zeige, dass alle Aufgaben dieses Typs eindeutig lösbar sind.
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> b) Bestimme die Lösung.
Ich kopiere einfach die Lösung von @Rolf B
wenn man die inneren Felder p,q,r benennt (beginnend oben, im Uhrzeigersinn) und die äußeren Felder a,b,c (beginnend bei p+q, gegen den Uhrzeigersinn), dann bekommt man ein Gleichungssystem:
~~~
p + q = a
p + r = b
q + r = c
~~~
Es mir hier zu mühsam, mit Latex alle nötigen Matrizen zu setzen. Man kann es jedenfalls diagonalisieren, oder mit Cramer die Lösung mit Determinanten finden.
Nennerdeterminante ist -2, Zählerdeterminanten sind für p: c-a-b, für q: b-a-c, für r: a-b-c
Also gibt es grundsätzlich, egal wie a,b,c lauten, eine existierende, eindeutige Lösung in $$\mathbb Q$$:
$$\displaystyle p=\frac{a+b-c}{2}, \quad q=\frac{a+c-b}{2}, \quad
r=\frac{b+c-a}{2}$$
Lösungsweg für die Schülerinnen und Schüler: Addiere die beiden anliegenden Zahlen, subtrahiere die dritte und halbiere das Ergebnis.
> c) Benenne (möglichst wenige) Kriterien für die äußeren Zahlen, damit alle Zahlen natürliche Zahlen (ohne Null) sind.
* Die Summe muss gerade sein. (Ergibt sich auch aus der Tatsache, dass die Außensumme das Doppelte der Innensumme ist.)
* Die Zahlen müssen die Dreiecksungleichung erfüllen. (Der Lehrkraft würde man vielleicht sagen: Die Summe der kleineren Zahlen muss größer als die dritte sein und die Zahlen dürfen sich nicht zu sehr unterscheiden.)
Bis demnächst
Matthias
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