Lösung der Teilaufgabe 2 – Eine Abkürzung
bearbeitet von Matthias ApselHallo Rolf B,
> [![](/images/dff8a3ee-1871-11eb-9d0c-b42e9947ef30.png?size=medium)](/images/dff8a3ee-1871-11eb-9d0c-b42e9947ef30.png)
> $$\displaystyle a^2+b^2+c^2 = 4r^2-x^2 - (r^2-x^2) = 3r^2$$.
Bereits hiermit zeigst du, dass die Gesamtfläche unabhängig von _x_ ist.[^1] Insbesondere gilt für den Spezialfall _b_ = _c_ = 0 (Das Dreieck _A_ ist dann dem Kreis einbeschrieben) *a*² = 3*r*².
Unser Kreis ist also gleichzeitig Inkreis des großen Dreiecks und Umkreis des kleinen.
Mit den bekannten oder [nachschlagbaren](https://de.wikipedia.org/wiki/Gleichseitiges_Dreieck#Berechnung_und_Konstruktion) Formeln für Umkreis und Inkreis, ergibt sich die Seitenlänge des großen Dreiecks zu 2√3⋅*r* und die Seitenlänge des kleinen zu √3⋅*r*.
Das gesuchte Verhältnis ist mithin 1:4.
[^1]: Das finde ich übrigens echt bemerkenswert.
Bis demnächst
Matthias
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Lösung der Teilaufgabe 2 – Eine Abkürzung
bearbeitet von Matthias ApselHallo Rolf B,
> [![](/images/dff8a3ee-1871-11eb-9d0c-b42e9947ef30.png?size=medium)](/images/dff8a3ee-1871-11eb-9d0c-b42e9947ef30.png)
> $$\displaystyle a^2+b^2+c^2 = 4r^2-x^2 - (r^2-x^2) = 3r^2$$.
Bereits hiermit zeigst du, dass die Gesamtfläche unabhängig von _x_ ist.[^1] Insbesondere gilt für den Spezialfall _b_ = _c_ = 0 (Das Dreieck _A_ ist dann dem Kreis einbeschrieben) *a*² = 3*r*².
Unser Kreis ist also gleichzeitig Inkreis des großen Dreiecks und Umkreis des kleinen.
Setzen wir jetzt _r_ = 1, ergibt sich mit den bekannten oder [nachschlagbaren](https://de.wikipedia.org/wiki/Gleichseitiges_Dreieck#Berechnung_und_Konstruktion) Formeln für Umkreis und Inkreis, die Seitenlänge des großen Dreiecks zu 2√3 und die Seitenlänge des kleinen zu √3.
Das gesuchte Verhältnis ist mithin 1:4.
[^1]: Das finde ich übrigens echt bemerkenswert.
Bis demnächst
Matthias
--
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