Quadrate – diesmal Zahlen, keine Figuren – Lösung der Zusatzaufgabe

[Gunnar Bittersmann]

@@Gunnar Bittersmann

Aber es gibt mutmaßlich unendlich viele deiner Siebenerketten.

Zusatzaufgabe: Beweise diese Mutmaßung.

Ehe es Wochenende wird und Matthias schon wieder mit der nächsten Aufgabe kommt, hier noch der Beweis:

Wir betrachten aufeinanderfolgende Quadratzahlen, beginnend beim Quadrat einer Zehnerpotenz 10ⁿ mit n ∈ ℕ⁺:

Qudratzahl	Darstellung[1]	Quersumme
(10ⁿ)² = 10²ⁿ	10*	1
(10ⁿ + 1)² = 10²ⁿ + 2 · 10ⁿ + 1	10*20*1	4
(10ⁿ + 2)² = 10²ⁿ + 4 · 10ⁿ + 4	10*40*4	9
(10ⁿ + 3)² = 10²ⁿ + 6 · 10ⁿ + 9	10*60*9	16
(10ⁿ + 4)² = 10²ⁿ + 8 · 10ⁿ + 16	10*80*16 | 196	16
(10ⁿ + 5)² = 10²ⁿ + 10 · 10ⁿ + 25	10*10*25 | 225	9
(10ⁿ + 6)² = 10²ⁿ + 12 · 10ⁿ + 36	10*120*36 | 256	13

Die Zahlen (10ⁿ)² bis (10ⁿ + 5)² bilden eine 6er-Kette; nach oben lässt sich diese nicht zu einer 7er-Kette erweitern.

Aber vielleicht nach unten?

Qudratzahl	Darstellung[2]	Quersumme
(10ⁿ − 1)² = 10²ⁿ − 2 · 10ⁿ + 1 = (10ⁿ − 2) · 10ⁿ + 1	9{n−1}80*1	9n
(10ⁿ − 2)² = 10²ⁿ − 4 · 10ⁿ + 4 = (10ⁿ − 4) · 10ⁿ + 4	9{n−1}60*4	9n + 1

9n, die Quersumme von (10ⁿ − 1)², ist genau dann eine Quadratzahl, wenn n eine Quadratzahl ist; n = k². In dem Fall ist 9n + 1 keine Quadratzahl.

Das heißt: Für alle k ∈ ℕ⁺ bildet die Folge $$(10^{k^2}-1)^2, (10^{k^2})^2, (10^{k^2}+1)^2, …, (10^{k^2}+5)^2$$ eine 7er-Kette. Folglich gibt es unendlich viele 7er-Ketten. (Dass es auch 7er-Ketten mit anderen Startzahlen als $$(10^{k^2}-1)^2$$ geben könnte, muss für diesen Beweis nicht betrachtet werden.)

Außerdem sieht man: Es gibt kein k, für das sich die derart gebildete 7er-Kette zu einer 8er-Kette erweitern ließe. Das schließt aber nicht aus, dass es 8er-Ketten mit anderen Startzahlen als $$(10^{k^2}-2)^2$$ geben könnte.

😷 LLAP

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1. angeleht an die RegExp-Notation: 0* heißt: beliebig viele Nullen ↩︎

2. 9{n−1} heißt: genau n − 1 Neunen ↩︎