Pyramide und Kugeln – Lösungen

[Der Martin]

Hallo,

a) Ermittle das Verhältnis der Volumina der beiden Kugeln.

Lösung von @Tabellenkalk:

Statt der Pyramide in 3D betrachte ich ein gleichseitiges Dreieck mit zwei entsprechend einbeschreiebenen Kreisen. Das entspricht einem halbierenden Schnitt durch die Pyramide parallel zu einer Grundkante.

Dem Dreieck kann man die Ecken so umklappen, dass sich die Spitzen im Mittelpunkt berühren und man erhält ein gleichseitiges Sechseck. Der große Kreis berührt nun alle 6 Seiten und der kleine Kreis war genau einer umgeklappten Ecke einbeschrieben.

Nun sieht man, dass sich die Radien wie 3:1 verhalten müssen und in 3D folgt daraus ein Verhältnis der Volumina von 27:1.

das Ergebnis hatte ich auch - allerdings habe ich nichts umgeklappt, sondern einfach den Inkreisradius und die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks (Formelsammlung) ins Verhältnis gesetzt.

Außerdem hat auch @Gunnar Bittersmann eine Lösung für a) eingereicht.

Mit einer abweichenden Herleitung?

Live long and pros healthy,
 Martin