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Hallo Gunnar,
Lösungen zur Wochenmitte (Ganz ohne trigonometrische Funktionen):
Die ganze Zeichnung kann man zuerst einmal als zweidimensionalen Raum sehen, den Schnittpunkt der beiden Diagonalen wähle ich als Ursprung des Koordinatensystems. Nun hat man also den Punkt $$A(1/5)$$ und den Punkt $$B(2/3)$$. Zur Hilfe nehmen kann man sich nun, dass wenn man das blaue Rechteck "hinlegt", also um $$90°$$ dreht, man einen $$90°$$ Winkel zwischen den Diagonalen der blauen Rechtecke erhält. Das Diagonalenende des anderen Rechtecks nennen wir $$A'$$ und dieses liegt bei $$A'(5/1)$$. Nun müssen wir nur noch die Distanz von $$A$$ zu $$B$$ und von $$B$$ zu $$A'$$ ausrechnen, wir nehmen also den Vektor
$$\vec{AB}=\vec{OB}-\vec{OA}=\left(\begin{array}{c} (3) \ (-2) \end{array}\right)$$
und
$$\vec{BA'}=\vec{OA'}-\vec{OB}=\left(\begin{array}{c} (3) \ (-2) \end{array}\right)$$
Nun könnte man noch die Beträge der beiden Vektoren ausrechnen und vergleichen, aber ich denke es ist relativ offensichtlich, dass diese identisch sind. Da die Vektoren an sich auch identisch sind müssen wir nichteinmal mehr prüfen, ob die Punkte überhaupt auf einer Geraden liegen. Somit ist der Vektor $$\vec{OB}$$ (also die Diagonale des gelben Rechtecks) die Winkelhalbierende des $$90°$$ Winkels der beiden blauen und somit ist der Winkel zwischen den Diagonalen und die Antwort auf deine Frage:
$$90°/2=45°$$
$$qed.$$
LG Manuel
Gunnar Bittersmann
Rolf B