Mathematik zum Wochenende – Lösung

[Gunnar Bittersmann]

@@Gunnar Bittersmann

Kann es sein, dass $$\displaystyle \sum_{n=1}^m n^3 = \left(\sum_{n=1}^m n\right)^2$$ ist?

PS: Bei „nein“ soll ein m angegeben werden, für welches die Gleichung nicht gilt. Bei „ja“ soll ein Beweis erbracht werden.

Bevor wir uns auf die Suche nach einem Gegenbeispiel machen, beweisen wir lieber die Gleichheit. Ich glaube, das wird einfacher. 😏

Wie man leicht sieht, stimmt die Gleichung für m = 1.

Nehmen wir an, die Gleichung stimmt für ein beliebiges, aber festes m ∈ ℕ⁺. Zu zeigen: Dann gilt sie auch für m + 1, d.h. $$\displaystyle \sum_{n=1}^{m+1} n^3 = \left(\sum_{n=1}^{m+1} n\right)^2$$

Na dann rechnen wir mal nach:
$$\displaystyle \left(\sum_{n=1}^{m+1} n\right)^2 = \left(\sum_{n=1}^m n + (m+1)\right)^2$$
$$\displaystyle \qquad\qquad\ = \left(\sum_{n=1}^m n\right)^2 + 2(m+1)\sum_{n=1}^m n + (m+1)^2$$
$$\displaystyle \qquad\qquad\ = \sum_{n=1}^m n^3 + 2(m+1)\sum_{n=1}^m n + (m+1)^2\qquad$$ (nach Induktionsvoraussetzung)
$$\displaystyle \qquad\qquad\ = \sum_{n=1}^m n^3 + 2(m+1)\frac{m(m+1)}{2} + (m+1)^2\qquad$$ (nach Carl Friedrich)
$$\displaystyle \qquad\qquad\ = \sum_{n=1}^m n^3 + m(m+1)^2 + (m+1)^2$$
$$\displaystyle \qquad\qquad\ = \sum_{n=1}^m n^3 + (m+1)(m+1)^2$$
$$\displaystyle \qquad\qquad\ = \sum_{n=1}^m n^3 + (m+1)^3$$
$$\displaystyle \qquad\qquad\ = \sum_{n=1}^{m+1} n^3$$

@Rolf B und @Matthias Fulde hatten’s auch in etwa so: „Beweis durch ein Mittel, das heute in der Schule keiner mehr lernt: Vollständige Induktion“, wie Rolf sagte. Ist das so? Wenn ja, warum?

@Tabellenkalk verwies auf Johannes und die nach ihm benannten Polynome.

🖖 Живіть довго і процвітайте