@@Gunnar Bittersmann > Wir bleiben bei den Aufgaben ohne Skizze. > > Gesucht sind alle zehnstelligen Zahlen *n*, die folgende Bedingen erfüllen (im Dezimalsystem): > > - sie enthalten alle Ziffern von 0 bis 9 > - für alle *k* von 1 bis 10 ist die aus den ersten *k* Ziffern von *n* gebildete Zahl durch *k* teilbar Seien *a*₁, *a*₂, …, *a*₁₀ ∈ {0, 1, …, 9} die Ziffern von *n*, also *n* = *a*₁*a*₂*a*₃*a*₄*a*₅*a*₆*a*₇*a*₈*a*₉*a*₁₀ 10 Stellen, 10 Ziffern, d.h. jede der Ziffern 0 bis 9 kommt genau einmal vor. *n* soll durch 10 teilbar sein, also *a*₁₀ = 0. *a*₁*a*₂*a*₃*a*₄*a*₅ soll durch 5 teilbar sein, also *a*₅ = 5. (Die 0 war ja schon vergeben.) Die Teilbarkeit von *a*₁*a*₂*a*₃*a*₄*a*₅*a*₆*a*₇*a*₈*a*₉ durch 9 ist immer gegeben, da die Quersumme unabhängig von der Reihenfolge der Ziffern immer 45 ist. *a*₁*a*₂ soll durch 2 teilbar sein, ebenso *a*₁*a*₂*a*₃*a*₄ (weil durch 4), *a*₁*a*₂*a*₃*a*₄*a*₅*a*₆ (weil durch 6) und *a*₁*a*₂*a*₃*a*₄*a*₅*a*₆*a*₇*a*₈ (weil durch 8). *a*₂, *a*₄, *a*₆, *a*₈ müssen also gerade sein; *a*₂, *a*₄, *a*₆, *a*₈ ∈ {2, 4, 6, 8}. Somit verbleiben für die restlichen Ziffern die ungeraden; *a*₁, *a*₃, *a*₇, *a*₉ ∈ {1, 3, 7, 9}. Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die letzte Stelle 0, 4 oder 8 und die vorletzte Stelle gerade ist oder wenn die letzte Stelle 2 oder 6 und die vorletzte Stelle ungerade ist. Da *a*₃ ungerade ist, muss *a*₄ ∈ {2, 6} sein, damit *a*₁*a*₂*a*₃*a*₄ durch 4 teilbar ist. Dieselbe Überlegung führt zu *a*₈ ∈ {2, 6} und somit *a*₂, *a*₆ ∈ {4, 8}. **Fall 1:** *a*₂ = 4, *a*₆ = 8 Damit *a*₁*a*₂*a*₃ durch 3 teilbar ist, muss *a*₁ + *a*₂ + *a*₃ = *a*₁ + 4 + *a*₃ durch 3 teilbar sein. Das geht nur mit *a*₁, *a*₃ ∈ {1, 7}. Bleibt übrig: *a*₇, *a*₉ ∈ {3, 9}. Damit *a*₁*a*₂*a*₃*a*₄*a*₅*a*₆*a*₇*a*₈ durch 8 teilbar ist, muss *a*₆*a*₇*a*₈ durch 8 teilbar sein. Das geht nur mit 832 und 896; 836 und 892 sind nicht durch 8 teilbar. Damit ergeben sich folgende möglichen Kandidaten: 1476583290, 7416583290, 1472589630 und 7412589630. Nun sind aber keine der Zahlen 1476583, 7416583, 1472589 und 7412589 durch 7 teilbar. **Fall 2:** *a*₂ = 8, *a*₆ = 4 *a*₁ + *a*₂ + *a*₃ = *a*₁ + 8 + *a*₃ muss durch 3 teilbar sein. Das geht nur mit *a*₁, *a*₃ ∈ {1, 3}. Bleibt übrig: *a*₇, *a*₉ ∈ {7, 9}. *a*₆*a*₇*a*₈ durch 8 teilbar geht dann nur mit 472 und 496, nicht mit 476 und 492. Damit ergeben sich folgende möglichen Kandidaten: 1836547290, 3816547290, 1832549670 und 3812549670. Von den aus den jeweils ersten 7 Ziffern gebildeten Zahlen ist nur 3816547 durch 7 teilbar. Nur die Zahl **3816547290** erfüllt die Bedingungen. --- @Rolf B hatte das auch in etwa so, nur mit einem „Brute-Force Teil zwischendurch“. 😄 Die Aufgabe hatte ich [von Holger Dambeck](https://twitter.com/hdambeck/status/1548934160559095810) vom Spiegel. Dort ist auch eine Lösung zu finden, die sich von meiner wohl nur darin unterscheidet, dass die Betrachtung der Teilbarkeiten durch 3 und 8 in ihrer Reihenfolge vertauscht sind. 🖖 Живіть довго і процвітайте {:@uk} -- *When the power of love overcomes the love of power the world will know peace.*{:@en} — Jimi Hendrix

@@Gunnar Bittersmann > Wir bleiben bei den Aufgaben ohne Skizze. > > Gesucht sind alle zehnstelligen Zahlen *n*, die folgende Bedingen erfüllen (im Dezimalsystem): > > - sie enthalten alle Ziffern von 0 bis 9 > - für alle *k* von 1 bis 10 ist die aus den ersten *k* Ziffern von *n* gebildete Zahl durch *k* teilbar Seien *a*₁, *a*₂, …, *a*₁₀ ∈ {0, 1, …, 9} die Ziffern von *n*, also *n* = *a*₁*a*₂*a*₃*a*₄*a*₅*a*₆*a*₇*a*₈*a*₉*a*₁₀ 10 Stellen, 10 Ziffern, d.h. jede der Ziffern 0 bis 9 kommt genau einmal vor. *n* soll durch 10 teilbar sein, also *a*₁₀ = 0. *a*₁*a*₂*a*₃*a*₄*a*₅ soll durch 5 teilbar sein, also *a*₅ = 5. (Die 0 war ja schon vergeben.) Die Teilbarkeit von *a*₁*a*₂*a*₃*a*₄*a*₅*a*₆*a*₇*a*₈*a*₉ durch 9 ist immer gegeben, da die Quersumme unabhängig von der Reihenfolge der Ziffern immer 45 ist. *a*₁*a*₂ soll durch 2 teilbar sein, ebenso *a*₁*a*₂*a*₃*a*₄ (weil durch 4), *a*₁*a*₂*a*₃*a*₄*a*₅*a*₆ (weil durch 6) und *a*₁*a*₂*a*₃*a*₄*a*₅*a*₆*a*₇*a*₈ (weil durch 8). *a*₂, *a*₄, *a*₆, *a*₈ müssen also gerade sein; *a*₂, *a*₄, *a*₆, *a*₈ ∈ {2, 4, 6, 8}. Somit verbleiben für die restlichen Ziffern die ungeraden; *a*₁, *a*₃, *a*₇, *a*₉ ∈ {1, 3, 7, 9}. Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die letzte Stelle 0, 4 oder 8 und die vorletzte Stelle gerade ist oder wenn die letzte Stelle 2 oder 6 und die vorletzte Stelle ungerade ist. Da *a*₃ ungerade ist, muss *a*₄ ∈ {2, 6} sein, damit *a*₁*a*₂*a*₃*a*₄ durch 4 teilbar ist. Dieselbe Überlegung führt zu *a*₈ ∈ {2, 6} und somit *a*₂, *a*₆ ∈ {4, 8}. **Fall 1:** *a*₂ = 4, *a*₆ = 8 Damit *a*₁*a*₂*a*₃ durch 3 teilbar ist, muss *a*₁ + *a*₂ + *a*₃ = *a*₁ + 4 + *a*₃ durch 3 teilbar sein. Das geht nur mit *a*₁, *a*₃ ∈ {1, 7}. Bleibt übrig: *a*₇, *a*₉ ∈ {3, 9}. Damit *a*₁*a*₂*a*₃*a*₄*a*₅*a*₆*a*₇*a*₈ durch 8 teilbar ist, muss *a*₆*a*₇*a*₈ durch 8 teilbar sein. Das geht nur mit 832 und 896; 836 und 892 sind nicht durch 8 teilbar. Damit ergeben sich folgende möglichen Kandidaten: 1476583290, 7416583290, 1472589630 und 7412589630. Nun sind aber keine der Zahlen 1476583, 7416583, 1472589 und 7412589 durch 7 teilbar. **Fall 2:** *a*₂ = 8, *a*₆ = 4 *a*₁ + *a*₂ + *a*₃ = *a*₁ + 8 + *a*₃ muss durch 3 teilbar sein. Das geht nur mit *a*₁, *a*₃ ∈ {1, 3}. Bleibt übrig: *a*₇, *a*₉ ∈ {7, 9}. *a*₆*a*₇*a*₈ durch 8 teilbar geht dann nur mit 472 und 496, nicht mit 476 und 492. Damit ergeben sich folgende möglichen Kandidaten: 1836547290, 3816547290, 1832549670 und 3812549670. Von den aus den jeweils ersten 7 Ziffern gebildeten Zahlen ist nur 3816547 teilbar. Nur die Zahl **3816547290** erfüllt die Bedingungen. --- @Rolf B hatte das auch in etwa so, nur mit einem „Brute-Force Teil zwischendurch“. 😄 Die Aufgabe hatte ich [von Holger Dambeck](https://twitter.com/hdambeck/status/1548934160559095810) vom Spiegel. Dort ist auch eine Lösung zu finden, die sich von meiner wohl nur darin unterscheidet, dass die Betrachtung der Teilbarkeiten durch 3 und 8 in ihrer Reihenfolge vertauscht sind. 🖖 Живіть довго і процвітайте {:@uk} -- *When the power of love overcomes the love of power the world will know peace.*{:@en} — Jimi Hendrix