Mathematik zur Wochenmitte - Lösung
bearbeitet von Gunnar Bittersmann@@ottogal
> > Eine Gerade, die jedes der beiden Rechtecke halbiert, halbiert auch den Restkuchen.[…] Die Gerade, die die beiden Mittelpunkte verbindet, löst also die Aufgabe.
Das ist ja einfach!
Ich hatte was anderes im Sinn. (Hatte das nur in der Kürze der Zeit nicht aufgeschrieben. Du warst ja schnell mit der Auflösung.)
> So gibt es stets eine vertikale Gerade, die das leistet. […] (Die lässt sich freilich nicht mehr geometrisch konstruieren, sondern nur numerisch approximieren.)
Hier wage ich zu widersprechen. Denn genau diese Gerade hatte ich im Sinn.
Die Seitenlängen des fehlenden Kuchenstücks seien *a* und *b*. (Dabei ist es egal, welches davon die längere Seite ist.)
Verlängere *AB* über *B* hinaus um *b* zum Punkt *E*. Wähle *F* auf *BC* so, dass *CF* = *a*.
Die Sekrechte zu *BC* durch *F* schneidet *CE* in *G*. Die Parallele zu *BC* durch *G* schneidet *BE* in *H* und *CD* in *J*.
[![](/images/3d21554c-9d7e-11ec-b3b4-b42e9947ef30.jpeg?size=medium)](/images/3d21554c-9d7e-11ec-b3b4-b42e9947ef30.jpeg)
Nach Strahlensatz ist nun *FG* / *a* = *b* / *BC*, folglich *FG* · *BC* = *ab*. Das Rechteck *BHJC* ist also genauso groß wie das fehlende Kuchenstück.
Sei *K* der Mittelpunkt von *AH*, d.h. die Senkrechte zu *AB* durch *K* teilt das Rechteck *AHJD* in zwei gleiche Teile.
Vom linken Teil schneiden wir das Kuchenstück heraus, vom rechten Teil das gleich große Stück *BHJC* – wir haben also *ABCD* wie gewünscht geteilt.
Hatte ich schon erwähnt, dass sich alle genannten Punkte und Geraden mit Zirkel und Lineal konstruieren lassen?
🖖 Живи довго і процвітай
{:@uk}
--
*When the power of love overcomes the love of power the world will know peace.*{:@en}
— Jimi Hendrix
Mathematik zur Wochenmitte - Lösung
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> > Eine Gerade, die jedes der beiden Rechtecke halbiert, halbiert auch den Restkuchen.[…] Die Gerade, die die beiden Mittelpunkte verbindet, löst also die Aufgabe.
Das ist ja einfach!
Ich hatte was anderes im Sinn. (Hatte das nur in der Kürze der Zeit nicht aufgeschrieben. Du warst ja schnell mit der Auflösung.)
> So gibt es stets eine vertikale Gerade, die das leistet. […] (Die lässt sich freilich nicht mehr geometrisch konstruieren, sondern nur numerisch approximieren.)
Hier wage ich zu widersprechen. Denn genau diese Gerade hatte ich im Sinn.
Die Seitenlängen des fehlenden Kuchenstücks seien *a* und *b*. (Dabei ist es egal, welches davon die längere Seite ist.)
Verlängere *AB* über *B* hinaus um *b* zum Punkt *E*. Wähle *F* auf *BC* so, dass *CF* = *a*.
Die Sekrechte zu *BC* durch *F* schneidet *CE* in *G*. Die Parallele zu *BC* durch *G* schneidet *BE* in *H* und *CD* in *J*.
[![](/images/3d21554c-9d7e-11ec-b3b4-b42e9947ef30.jpeg?size=medium)](/images/3d21554c-9d7e-11ec-b3b4-b42e9947ef30.jpeg)
Nach Strahlensatz ist nun *FG* / *a* = *b* / *BC*, folglich *FG* · *BC* = *ab*. Das Rechteck *BHJC* ist also genauso groß wie das fehlende Kuchenstück.
Sei *K* der Mittelpunkt von *BH*, d.h. die Senkrechte zu *AB* durch *K* teilt das Rechteck *AHJD* in zwei gleiche Teile.
Vom linken Teil schneiden wir das Kuchenstück heraus, vom rechten Teil das gleich große Stück *BHJC* – wir haben also *ABCD* wie gewünscht geteilt.
Hatte ich schon erwähnt, dass sich alle genannten Punkte und Geraden mit Zirkel und Lineal konstruieren lassen?
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> > Eine Gerade, die jedes der beiden Rechtecke halbiert, halbiert auch den Restkuchen.[…] Die Gerade, die die beiden Mittelpunkte verbindet, löst also die Aufgabe.
Das ist ja einfach!
Ich hatte was anderes im Sinn. (Hatte das nur in der Kürze der Zeit nicht aufgeschrieben. Du warst ja schnell mit der Auflösung.)
> So gibt es stets eine vertikale Gerade, die das leistet. […] (Die lässt sich freilich nicht mehr geometrisch konstruieren, sondern nur numerisch approximieren.)
Hier wage ich zu widersprechen. Denn genau diese Gerade hatte ich im Sinn.
Die Seitenlängen des fehlenden Kuchenstücks seien *a* und *b*. (Dabei ist es egal, welches davon die längere Seite ist.)
Verlängere *AB* über *B* hinaus um *b* zum Punkt *E*. Wähle *F* auf *BC* so, dass *CF* = *a*.
Die Sekrechte zu *BC* durch *F* schneidet *CE* in *G*. Die Parallele zu *BC* durch *G* schneidet *BE* in *H* und *CD* in *J*.
Nach Strahlensatz ist nun *FG* / *a* = *b* / *BC*, folglich *FG* · *BC* = *ab*. Das Rechteck *BHJC* ist also genauso groß wie das fehlende Kuchenstück.
Sei *K* der Mittelpunkt von *BH*, d.h. die Senkrechte zu *AB* durch *K* teilt das Rechteck *AHJD* in zwei gleiche Teile.
Vom linken Teil schneiden wir das Kuchenstück heraus, vom rechten Teil das gleich große Stück *BHJC* – wir haben also *ABCD* wie gewünscht geteilt.
Hatte ich schon erwähnt, dass sich alle genannten Punkte und Geraden mit Zirkel und Lineal konstruieren lassen?
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