Teil-Lösung: [](/images/0041e42a-464d-11ed-a6ab-b42e9947ef30.jpg) In der hier verlinkten Geogebra-Zeichnung [https://www.geogebra.org/m/ytuepgp6](https://www.geogebra.org/m/ytuepgp6) lassen sich die roten Punkte A, B und C verschieben. Dreht man das $$\triangle{AEB}$$ mit Drehpunkt $$B$$ um 90° im Uhrzeigersinn, so erhält man das $$\triangle{FCB}$$. Dabei ist auch die Gerade $$AE$$ um 90° gedreht worden auf die Gerade $$FC$$; die beiden Geraden stehen also aufeinander senkrecht. Ihren Schnittpunkt nennen wir $$S$$. Es gilt also insbesondere $$\angle{FSA} = \angle{CSE} = 90°$$. Zu zeigen bleibt: Die Punkte $$D$$, $$S$$ und $$G$$ liegen auf einer Geraden. Man betrachte die Umkreise $$k_1$$ bzw. $$k_2$$ der Quadrate $$ABFG$$ und $$BCDE$$ mit ihren Mittelpunkten $$M_1$$ bzw. $$M_2$$. Wir verwenden den Zusammenhang zwischen Umfangswinkel $$\phi = \angle{APB}$$ und Mittelpunktswinkel $$\mu = \angle{AMB}$$ einer Kreis-Sehne $$[AB]$$ (so genannter Kreiswinkelsatz): Genau dann liegt $$P$$ auf der Kreislinie, wenn $$\mu = 2 \cdot \phi$$ ist: [](/images/2109eed6-464e-11ed-9cee-b42e9947ef30.png) (Siehe [Kreiswinkelsatz_(Zentriwinkelsatz)](https://de.wikipedia.org/wiki/Kreiswinkel#Kreiswinkelsatz_\(Zentriwinkelsatz\)) ). Der Thales-Satz und seine Umkehrung sind ein Spezialfall hiervon: Falls $$[AB]$$ Durchmesser ist, wird $$\mu = 180°$$, und $$C$$ liegt genau dann auf der Kreislinie, wenn $$\phi = 90°$$ ist. Damit ziehen wir folgende Schlüsse: Weil $$[FA]$$ Durchmesser von $$k_1$$ und $$\angle{FSA} = 90°$$ ist, muss $$S$$ auf $$k_1$$ liegen. Im Kreis $$k_1$$ gehört zur Sehne $$[FG]$$ der Mittelpunktswinkel $$\angle{FM_1G} = 90°$$, also der Umfangswinkel $$\angle{FSG} = 45°$$. Weil $$[CE]$$ Durchmesser von $$k_2$$ und $$\angle{CSE} = 90°$$ ist, muss $$S$$ auf $$k_2$$ liegen. Im Kreis $$k_2$$ gehört zur Sehne $$[CD]$$ der Mittelpunktswinkel $$\angle{CM_2D} = 90°$$, also der Umfangswinkel $$\angle{CSD} = 45°$$. Es ist also $$\angle{FSG} = \angle{CSD}$$, und weil $$C$$, $$S$$ und $$F$$ auf einer Geraden liegen, muss das auch für $$D$$, $$S$$ und $$G$$ gelten. _Anmerkung:_ Die Argumentation bleibt gültig, solange man in der abgebildeten Ausgangslage z.B. den Punkt $$C$$ nur so weit bewegt, dass $$S$$ auf dem Bogen $$AB$$ (ohne Endpunkte) bleibt. Für andere Fälle muss man die Beweisführung modifizieren. _Dies sei dem interessierten Leser als (mühselige) Übung überlassen..._

Lösung: [](/images/0041e42a-464d-11ed-a6ab-b42e9947ef30.jpg) In der hier verlinkten Geogebra-Zeichnung [https://www.geogebra.org/m/ytuepgp6](https://www.geogebra.org/m/ytuepgp6) lassen sich die roten Punkte A, B und C verschieben. Dreht man das $$\triangle{AEB}$$ mit Drehpunkt $$B$$ um 90° im Uhrzeigersinn, so erhält man das $$\triangle{FCB}$$. Dabei ist auch die Gerade $$AE$$ um 90° gedreht worden auf die Gerade $$FC$$; die beiden Geraden stehen also aufeinander senkrecht. Ihren Schnittpunkt nennen wir $$S$$. Es gilt also insbesondere $$\angle{FSA} = \angle{CSE} = 90°$$. Zu zeigen bleibt: Die Punkte $$D$$, $$S$$ und $$G$$ liegen auf einer Geraden. Man betrachte die Umkreise $$k_1$$ bzw. $$k_2$$ der Quadrate $$ABFG$$ und $$BCDE$$ mit ihren Mittelpunkten $$M_1$$ bzw. $$M_2$$. Wir verwenden den Zusammenhang zwischen Umfangswinkel $$\phi = \angle{APB}$$ und Mittelpunktswinkel $$\mu = \angle{AMB}$$ einer Kreis-Sehne $$[AB]$$ (so genannter Kreiswinkelsatz): Genau dann liegt $$P$$ auf der Kreislinie, wenn $$\mu = 2 \cdot \phi$$ ist: [](/images/2109eed6-464e-11ed-9cee-b42e9947ef30.png) (Siehe [Kreiswinkelsatz_(Zentriwinkelsatz)](https://de.wikipedia.org/wiki/Kreiswinkel#Kreiswinkelsatz_\(Zentriwinkelsatz\)) ). Der Thales-Satz und seine Umkehrung sind ein Spezialfall hiervon: Falls $$[AB]$$ Durchmesser ist, wird $$\mu = 180°$$, und $$C$$ liegt genau dann auf der Kreislinie, wenn $$\phi = 90°$$ ist. Damit ziehen wir folgende Schlüsse: Weil $$[FA]$$ Durchmesser von $$k_1$$ und $$\angle{FSA} = 90°$$ ist, muss $$S$$ auf $$k_1$$ liegen. Im Kreis $$k_1$$ gehört zur Sehne $$[FG]$$ der Mittelpunktswinkel $$\angle{FM_1G} = 90°$$, also der Umfangswinkel $$\angle{FSG} = 45°$$. Weil $$[CE]$$ Durchmesser von $$k_2$$ und $$\angle{CSE} = 90°$$ ist, muss $$S$$ auf $$k_2$$ liegen. Im Kreis $$k_2$$ gehört zur Sehne $$[CD]$$ der Mittelpunktswinkel $$\angle{CM_2D} = 90°$$, also der Umfangswinkel $$\angle{CSD} = 45°$$. Es ist also $$\angle{FSG} = \angle{CSD}$$, und weil $$C$$, $$S$$ und $$F$$ auf einer Geraden liegen, muss das auch für $$D$$, $$S$$ und $$G$$ gelten. _Anmerkung:_ Die Argumentation bleibt gültig, solange man in der abgebildeten Ausgangslage den Punkt $$C$$ nur so weit bewegt, dass $$S$$ auf dem Bogen $$GABF$$ (ohne Endpunkte) bleibt. Für andere Fälle muss man die Beweisführung modifizieren. _Dies sei dem interessierten Leser als (mühselige) Übung überlassen..._