Schönwetter-Geometrie

[Rolf B]

Hallo Gunnar,

hast ja recht.

Das folgende Bild ist aus dieser Geogebra-Zeichnung erstellt worden. Ich habe nur versehentlich den Ort von 70° und 65° verwechselt. Macht nichts 😉

Die Winkel bei A und B seien α=65° und β=70°.

Beginnen wir mit dem Thalessatz. Aus ihm folgt, dass der Winkel $$?_1$$ ein rechter Winkel ist. Damit ergibt sich für $$?_2$$ der Wert 25° (180°-90°-α) und daraus folgt für $$?_3$$ der Wert 45° (β-(90°-α)=α+β-90°)

Als nächstes spiegeln wir den Punkt C am Durchmesser AB. Durch die Spiegelung sind die Winkel ∠RPC und ∠C'PR gleich groß. ∠QPA ist ohnehin gleich ∠RPC. Demnach liegen Q, P und C' auf einer Geraden. Für S, R und C' gilt die analoge Begründung.

Bei QSC' handelt es sich also um ein Dreieck, und $$?_4$$ ist ein Peripheriewinkel (oder Umfangswinkel) über QS. $$?_3$$ ist aber ebenfalls ein solcher Peripheriewinkel und darum ist $$?_4 = ?_3 = 45^\circ$$, bzw. verallgemeinert α+β-90°.

Einsendungen kamen von Ottogal (zwei Varianten), Gunnar Bittersmann und Tabellenkalk.

Ottogals erste Lösung funktionierte ähnlich wie meine, er hat lediglich Q und S gespiegelt statt C. Dann hat er gemerkt, dass das Spiegeln von C einfacher ist, und mir das auch nochmal geschickt 😀

Gunnar hat einen anderen Weg:

Er hat die Dreiecke AMQ und SMB betrachtet. Diese sind gleichschenklig (zwei Seiten sind der Kreisradius), womit die Basiswinkel gleich sind und sich die Spitzenwinkel bei M zu 40° und 50° ergeben. Für SMQ bleiben damit 90° übrig. Und jetzt kommt der Zentriwinkelsatz zum Tragen: Der Mittelpunktswinkel ist doppelt so groß wie der Umfangswinkel über der gleichen Sehne. Woraus dann die 45° bei C folgen.

Die gleiche Idee hatte auch Tabellenkalk, er hatte nur im Urlaub keine Lust auf Skizzen.

Danke für's Mitmachen 😀
Rolf