Mathematik zur letzten Adventswoche - Lösung

[Gunnar Bittersmann]

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Gunnar hat den Kreis in ein Kartesisches Koordinatensystem gelegt, für die 4 fraglichen Verbindungen Geradengleichungen aufgestellt und paarweise einige ihrer Schnittpunkte berechnet.

Falls es Wayne interessiert:

Ich lasse das Bild so orientiert und nenne die Punkte wie auf einem Zifferblatt P₁ bis P₁₂. Die x-Achse gehe von P₉ zu P₃, die y-Achse von P₆ zu P₁₂. Der Kreis sei der Einheitskreis.

Die Gerade g₁ durch P₁ und P₅ ist dann x = ½ (wegen sin 30° = cos 60° = ½).

∡P₉P₃P₁₀ ist als Peripheriewinkel halb so groß wie der Zentriwinkel ∡P₉OP₁₀, also 15°. Die Gerade g₃ durch P₃ und P₁₀ ist folglich y = −(tan 15°)(x − 1) = −(2 − √3)(x − 1).

½ eingesetzt ergibt den y-Wert des Schnittpunkts von g₁ und g₃: y = −(2 − √3)(½ − 1) = 1 − ½√3.

Die Gerade g₂ durch P₂ und P₇ schneide die x-Achse in Q. ∡P₃QP₂ ist als Außenwinkel an ▵OQP₂ so groß wie die Summe der nicht anliegenden Innenwinkel, also 45°. (∡QP₂O ≡ ∡P₇P₂P₈ = ∡P₉P₃P₁₀ = 15°.) Folglich hat g₂ die Gleichung y = x + n, wobei sich n aus den Koordinaten (−½, −½√3) von P₇ (wieder ein spezieller Funktionswert der Winkelfunktion) zu n = ½ − ½√3 ergibt, d.h. y = x + ½ − ½√3.

½ eingesetzt ergibt den y-Wert des Schnittpunkts von g₁ und g₂: y = ½ + ½ − ½√3 = 1 − ½√3. Das stimmt mit dem Schnittpunkt von g₁ und g₃ überein.

Die Gerade g₄ durch P₄ und P₁₂ hat den Anstiegswinkel −60°, folglich die Gleichung y = −√3 x + 1.

½ eingesetzt ergibt den y-Wert des Schnittpunkts von g₁ und g₄: y = −½√3 + 1. Somit fallen alle Schnittpunkte zusammen, q.e.d.

Kwakoni Yiquan