Herbstliche Mathematik

[Rolf B]

Hallo,

ein echter Agg für den Herbst:

Ihr kennt diese Aufgaben ja und wisst, dass das richtige Verstehen der Aufgabe üblicherweise Teil des Problems ist.

Viel Spaß 😀

Rolf

[Gunnar Bittersmann]

@@Rolf B

Ihr kennt diese Aufgaben ja und wisst, dass das richtige Verstehen der Aufgabe üblicherweise Teil des Problems ist.

Das Verstehen der Aufgabe sollte kein Problem sein. Die Größe des Winkels herauszufinden auch nicht. Die hieb- und stichfeste Begründung ist es. Ich hab noch keine Idee.

🖖 Живіть довго і процвітайте

[Rolf B]

Hallo Gunnar,

Ottogal hat eine und sie mir geschickt. Aber ich habe sie noch nicht angeschaut. Weil ich bisher weder Zeit noch Idee hatte.

Ich lass die Aufgabe offen, der Herbst dauert ja noch bis nach der MV.

Update: Nach erstem Hirnen habe ich eine Beobachtung gemacht, die den Winkel erklärt. Aber ich weiß nicht, wie ich die Beobachtung erklären kann 🤣

Rolf

[nix]

2, 3 und 5 — natürlich geeignet angeordnet und mit zwei Operatoren versehen, liefern (fast schon als Quader) eine primär bezahlte Antwort. Also wenn’s um Grade geht. Sonst müßte man die Lösung, gängigerweise, mit 138470445106 und 176306046487 anpilen …

[Rolf B]

Hallo nix,

bitte keine Lösungen öffentlich posten. Zumindest Gunnar und ich rätseln noch...

Schicke deine Lösung als private Nachricht an mich - äh, ja, das geht wohl nur als angemeldeter Benutzer. Wenn Du anonym bleiben willst, dann nehme ich also zu den Akten, dass Du eine Lösung gefunden hast, und werde die Löschung rückgängig machen, wenn aufgelöst wird. Das könnte noch was dauern, ich werde zumindest warten, bis Gunnar was schickt oder signalisiert, dass er aufgibt.

Oder Du registrierst Dich und schickst die Privatnachricht, dann aber auch an Ottogal, der hat nämlich schon was eingeschickt, und ihr könnt dann über Vor- und Nachteile eurer Lösungen fachsimpeln.

Ein Bild allein reicht übrigens zumeist nicht, da gehört auch noch Erklärtext dazu, der die Lösung solide begründet. Soweit ich das flüchtig sehen konnte, habe ich die Linien, die Du da gemalt hast, nämlich auch – aber noch keinen Plan, inwiefern das eine Lösung ergibt. Wenn Du den hast – super, dann bereite die Begründung schonmal vor und wenn ich dein Bild wieder aufmache, kannst Du sie hinzufügen.

Rolf

[nix]

Ohne Bild bleibt es ja auch so „geheim“:

∡GBE = ∡FBE denn BD = BF = BG
„der von von Milet“ meint: ∡GEF = ⦝
∡BEF = - ∡BEG
⇒ ∡BEG = ∡GEF/2 … oder „anpilen“ mit 2⋄7⋄101⋄979828179 und 17⋄53⋄195678187

[Rolf B]

Hallo nix,

ich glaube, deine Argumentation – vor allem die über die Gleichheiten der Strecken – gilt nur dann, wenn der gesuchte Winkel tatsächlich den von Dir genannten Wert hat.

Aber jetzt bitte keine weitere offene Diskussion.

Rolf

[nix]

ich glaube, deine Argumentation – vor allem die über die Gleichheiten der Strecken – gilt nur dann, wenn der gesuchte Winkel tatsächlich den von Dir genannten Wert hat.

Das stimmt natürlich — auch! Aber das wiederum nur, weil es keine Ausnahme ist. Wäre ja auch ein nicht unbeträchtlicher Zufall, wenn meine erste Konstruktion genau diese eine oder eine der wenigen Ausnahmen getroffen hätte!

Ach ja: wer damit spielen mag und GeoGebra „kennt“:

(Der Schieberegler „b“ spielt mit [Z B], wofür dann auch „a“ als „Spielwiese“ gebraucht wird.)

[ottogal]

Hast du nicht verstanden, dass das Spoilern von Lösungsversuchen hier nicht erwünscht ist?

[nix]

Drum fehlt ja auch noch etwas Wesentliches. So (mit dem Werkzeug und Verständnis für das, was dargestellt wird), sieht man nur, daß es „wohl so ist“. Aber nicht: warum.

[nix]

So, es herbstelt nicht mehr. Also noch ein Geo mit Gebra. Und dem Thaleskreis, dessen Winkelhalbierende auflöst. (Als Zugabe: mit der Konstrution als Liste nebendran.)

[ottogal]

Hallo in die Runde!

Das noch herumliegende Herbstlaub soll doch endlich entsorgt werden.
Mit dem Placet von Rolf löse ich hiermit auf:

---

Behauptung:

Der gesuchte Winkel $$\angle{BFE}$$ hat 45°, unabhängig vom Verhältnis der Radien der Viertelkreise.

Begründung:

Sei F der Schnittpunkt von DB mit dem linken Viertelkreis.

Da AF ein Radius des linken Viertelkreises ist, sind die Dreiecke FDA und CFA gleichschenklig mit den Basiswinkeln $$\alpha$$ bzw. $$\beta$$.

Für die Winkelsumme im Viereck ACFD gilt

$$90°+2\beta+2\alpha=360°$$, also

$$\alpha+\beta=135°$$.

Wir erhalten $$\gamma=\angle{CFB}=180°-(\alpha+\beta)=45°$$.

Der rote Kreis ist der Umkreis k des gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecks ECB.
$$\angle{CEB}=45°$$ ist Umfangswinkel zur Sehne CB im Kreis k.
Da nun auch $$\gamma=\angle{CFB}=45°$$ ist, muss nach der Umkehrung des Umfangswinkel-Satzes auch F auf k liegen.

Nach Thales ist somit $$\angle{CEF}=90°$$, und man erhält den gesuchten Winkel
$$\angle{BFE}= 90°-\gamma=45°$$.

q.e.d.

---

[MudGuard]

Hi,

Nach Thales ist somit $$\angle{CEF}=90°$$

Du meinst vermutlich $$\angle{CFE}=90°$$

cu,
Andreas a/k/a MudGuard

[ottogal]

Freilich, danke!

[nix]

Da nun auch γ=∠CFB=45° ist, muss nach der Umkehrung des Umfangswinkel-Satzes auch F auf k liegen.

Das, meine ich, erschließt sich nicht so einfach. Hört sich ein wenig nach „wenn irgendwo zwei gleiche Winkel auftreten …“ an. Da fehlt eine Verbindung.

[Tabellenkalk]

Hallo,

Da nun auch γ=∠CFB=45° ist, muss nach der Umkehrung des Umfangswinkel-Satzes auch F auf k liegen.

Das, meine ich, erschließt sich nicht so einfach. Hört sich ein wenig nach „wenn irgendwo zwei gleiche Winkel auftreten …“ an. Da fehlt eine Verbindung.

Ich habs auch erst nicht gesehen. Es sind 2 Dreiecke mit der gleichen Grundlinie: die Sehne CB. Für das eine Dreieck weiß man, dass es auf dem Kreis liegt und daher der UWS gilt. Für das andere weiß man nun den Winkel, der identisch ist. Also weiß man, dass der UWS hier auch gelten muss.

Gruß
Kalk

[ottogal]

Also weiß man, dass der UWS hier auch gelten muss.

So kann mans nicht ausdrücken. Es geht um die Anwendung der Umkehrung des Umfangswinkelsatzes.
(Allgemein:
Lautet ein Satz: "Aus Aussage A folgt Aussage B",
dann lautet seine Umkehrung: "Aus Aussage B folgt Aussage A".)

Nach dem Kreiswinkelsatz ist der Umfangswinkel $$φ=\angle{ACB}$$ zu einem bestimmten Kreisbogen (AB) stets halb so groß wie der zu diesem gehörende Mittelpunktswinkel $$μ=\angle{AMB}$$.
Verschiebt man also C auf dem nicht-roten Teil des Kreises, so bleibt der $$\angle{ACB}$$ stets gleich.
(Das ist der Umfangswinkelsatz.)

Daraus folgt: Ist D ein Punkt innerhalb des Kreises, so ist der $$δ=\angle{ADB}$$ stets größer als φ.
Nimmt man nämlich $$C_1$$ als Schnittpunkt von AD mit dem Kreis, so ist δ um den spitzen $$\angle{C_1BD}$$ größer als φ (Stichwort: Außenwinkelsatz!).

Entsprechendes gilt für einen Punkt E außerhalb des Kreises. Hier ist $$ε=\angle{AEB}$$ um den spitzen $$\angle{EBC_2}$$ kleiner als φ .

Aus diesen Überlegungen folgt nun: Ist P ein Punkt mit $$\angle{APB}=φ$$, so muss er auf dem Kreis liegen.
(Das ist die Umkehrung des Umfangswinkelsatzes.)

[nix]

Lautet ein Satz: "Aus Aussage A folgt Aussage B",

dann lautet seine Umkehrung: "Aus Aussage B folgt Aussage A"

’tschuldigung, aber … modus ponens? Also „wenn die Straße naß war, dann hat es geregnet“? „Es war nicht „dieser kleine orange-gelbe Karren mit den Bürsten, der gerade da vorne fährt und Schmutz einzusammeln versucht?“

Da seh’ ich jetzt nur den modus tollens.

[nix]

Hoppla, zu schnell abgeschickt: IMO kommen wir mit ein paar Fäßchen weiter! 😀

[ottogal]

Von dir kommt immer nur name dropping.

[Rolf B]

Hallo nix,

deswegen hat er ja auch den Beweis abgeliefert, dass im konkreten Fall sowohl A=>B wie auch B=>A gilt, also A<=>B ist.

Einfach aus A=>B zu postulieren, dass auch B=>A gilt, wäre natürlich Unfug.

Rolf

[ottogal]

Oft helfen ja Erläuterungen an Hand von Beispielen. Ich versuchs mal.

Die Erkenntnis Jeder Dackel ist ein Hund
lässt sich (z.B.) umschreiben in eine Beziehung zwischen zwei Aussagen über Tiere:

Sei T ein bestimmtes Tier.
Aussage A: T ist ein Dackel
Aussage B: T ist ein Hund

Dann gilt der "Satz":
Aus A folgt B
oder formal
A => B.

Dieser Satz lässt sich umkehren, indem man A und B vertauscht:
B => A.

Dieser Umkehrsatz kann wahr sein, muss es aber nicht - so in unserm Beispiel:
Aus B folgt A hieße (zurück übersetzt) Jeder Hund ist ein Dackel, was offensichtlich falsch ist.

[
Für ein etwas mathematischeres Beispiel nehme man statt eines Tieres ein bestimmtes Viereck V und die Aussagen
Aussage A: V ist ein Quadrat
Aussage B: V ist ein Rechteck
Dann ist der Satz A => B wahr, nicht aber seine Umkehrung B => A.
]

Natürlich gibt es Sätze, bei denen auch der Umkehrsatz wahr ist.
Z.B. (diesmal über Parallelogramme): Jedes Quadrat hat orthogonale Diagonalen.
Das ist der Satz A => B für ein vorliegendes Parallelogramm P:
Aussage A: P ist eine Raute
Aussage B: P hat orthogonale Diagonalen
Hier ist auch der Umkehrsatz B => A wahr:
Jedes Parallelogramm mit orthogonalen Diagonalen ist ein Quadrat.
[Nimmt man hier als Grundmenge nicht die Parallelogramme, sondern alle Vierecke, wird der Umkehrsatz falsch!]

Bis hier kamen noch nicht die logischen Schlussverfahren Modus ponens und Modus tollens ins Spiel.

Der Modus ponens meint folgendes:
Gilt der Satz A => B,
und ist A (im Einzelfall!) eine wahre Aussage,
dann muss (für diesen Fall!) auch B wahr sein.

Im obigen Beispiel:
Es gilt Jeder Dackel ist ein Hund.
Nun ist Fifi ein Dackel (A ist wahr).
Folglich ist Fifi ein Hund (B ist wahr).

Beim Modus tollens geht es um die Verneinungen:
Ist Fifi kein Hund (B ist falsch), so kann er kein Dackel sein (A ist falsch).

Bei meiner Lösung der herbstlichen Aufgabe war entscheidend, dass der Umfangswinkelsatz einen wahren Umkehrsatz hat - den Beweis habe ich ja nachgeliefert.
(Mein Fifi war der Winkel BFE... 😉)

[MudGuard]

Hi,

Das ist der Satz A => B für ein vorliegendes Parallelogramm P:
Aussage A: P ist eine Raute
Aussage B: P hat orthogonale Diagonalen
Hier ist auch der Umkehrsatz B => A wahr:
Jedes Parallelogramm mit orthogonalen Diagonalen ist ein Quadrat.

nein, eine Raute hat auch orthogonale Diagonalen.

Ob es noch andere Parallelogramme mit orthogonalen Diagonalen gibt, kann ich jetzt so spontan nicht ausschließen …

cu,
Andreas a/k/a MudGuard

[ottogal]

Hallo Andreas,

Das ist der Satz A => B für ein vorliegendes Parallelogramm P:
Aussage A: P ist eine Raute
Aussage B: P hat orthogonale Diagonalen
Hier ist auch der Umkehrsatz B => A wahr:
Jedes Parallelogramm mit orthogonalen Diagonalen ist ein Quadrat.

nein, eine Raute hat auch orthogonale Diagonalen.

Uups! Das ist ein copy&paste-Fehler - natürlich muss es heißen
Jedes Parallelogramm mit orthogonalen Diagonalen ist eine Raute!

Ob es noch andere Parallelogramme mit orthogonalen Diagonalen gibt, kann ich jetzt so spontan nicht ausschließen …

In jedem Parallelogramm halbieren sich die Diagonalen gegenseitig. Sind sie orthogonal, zerlegen sie es in 4 rechtwinklige Dreiecke, die in den Katheten übereinstimmen, also auch in der Hypotenuse. Ergo ist es eine Raute.

Danke für das (erneut) aufmerksame Korrekturlesen...!
ottogal