Herbstliche Mathematik

[ottogal]

Oft helfen ja Erläuterungen an Hand von Beispielen. Ich versuchs mal.

Die Erkenntnis Jeder Dackel ist ein Hund
lässt sich (z.B.) umschreiben in eine Beziehung zwischen zwei Aussagen über Tiere:

Sei T ein bestimmtes Tier.
Aussage A: T ist ein Dackel
Aussage B: T ist ein Hund

Dann gilt der "Satz":
Aus A folgt B
oder formal
A => B.

Dieser Satz lässt sich umkehren, indem man A und B vertauscht:
B => A.

Dieser Umkehrsatz kann wahr sein, muss es aber nicht - so in unserm Beispiel:
Aus B folgt A hieße (zurück übersetzt) Jeder Hund ist ein Dackel, was offensichtlich falsch ist.

[
Für ein etwas mathematischeres Beispiel nehme man statt eines Tieres ein bestimmtes Viereck V und die Aussagen
Aussage A: V ist ein Quadrat
Aussage B: V ist ein Rechteck
Dann ist der Satz A => B wahr, nicht aber seine Umkehrung B => A.
]

Natürlich gibt es Sätze, bei denen auch der Umkehrsatz wahr ist.
Z.B. (diesmal über Parallelogramme): Jedes Quadrat hat orthogonale Diagonalen.
Das ist der Satz A => B für ein vorliegendes Parallelogramm P:
Aussage A: P ist eine Raute
Aussage B: P hat orthogonale Diagonalen
Hier ist auch der Umkehrsatz B => A wahr:
Jedes Parallelogramm mit orthogonalen Diagonalen ist ein Quadrat.
[Nimmt man hier als Grundmenge nicht die Parallelogramme, sondern alle Vierecke, wird der Umkehrsatz falsch!]

Bis hier kamen noch nicht die logischen Schlussverfahren Modus ponens und Modus tollens ins Spiel.

Der Modus ponens meint folgendes:
Gilt der Satz A => B,
und ist A (im Einzelfall!) eine wahre Aussage,
dann muss (für diesen Fall!) auch B wahr sein.

Im obigen Beispiel:
Es gilt Jeder Dackel ist ein Hund.
Nun ist Fifi ein Dackel (A ist wahr).
Folglich ist Fifi ein Hund (B ist wahr).

Beim Modus tollens geht es um die Verneinungen:
Ist Fifi kein Hund (B ist falsch), so kann er kein Dackel sein (A ist falsch).

Bei meiner Lösung der herbstlichen Aufgabe war entscheidend, dass der Umfangswinkelsatz einen wahren Umkehrsatz hat - den Beweis habe ich ja nachgeliefert.
(Mein Fifi war der Winkel BFE... 😉)