Mathematik zum Wochenende – Lösung

[Gunnar Bittersmann]

@@Gunnar Bittersmann

Gesucht sind die Lösungen von x⁴ = (x − 1)⁴ in ℂ.

Auf beiden Seiten die vierte Wurzel gezogen gibt – aufgepasst! – nicht x = x − 1, sondern |x| = |x − 1|.

Wenn da beide Seiten dasselbe Vorzeichen haben, sind wir wieder bei x = x − 1, was keine Lösung hat. Also haben beide Seiten unterschiedliche Vorzeichen und es ist −x = x − 1, also x = ½.

In ℝ kann man das wohl so machen (kann man?); in ℂ gehen da aber Lösungen verloren.

Wir formen äquivalent um: Die rechte Seite nach der binomischen Formel aufgelöst (Pascalsches Dreieck) führt zu 0 = −4x³ + 6x² − 4x + 1. Gut, dass wir schon eine Lösung gefunden haben!

Polynomdivison: (−4x³ + 6x² − 4x + 1) : (x − ½) = −4x² + 4x − 2. Darauf (Normalform: 0 = x² − x + ½) die Lösungsformel angewandt: x₂₃ = ½ ± √−¼ = ½ ± ½i.

Ottogal und Rolf hatten’s auch so.

Kwakoni Yiquan