Eine Lösung

[ottogal]

Hallo in die Runde!

... Für Quadratzahlen gibt es etwas ganz Ähnliches:
$$ {1^{2} = 1} $$
$$ {2^{2} = 1 + 3} $$
$$ {3^{2} = 1 + 3 + 5} $$
$$ {n^{2} = {\sum\limits_{i = 1}^{n}{(2i - 1)}}} \mspace{30mu} $$ für $$ \mspace{5mu} n = 1, 2, 3,... $$

Die Erinnerung an diesen Sachverhalt – dass die Summe der ersten n ungeraden Zahlen n² ergibt – war für mich der Ausgangspunkt.
Er muss zwar auch bewiesen werden, lässt sich aber anschaulich einsehen – in der Skizze für n = 1 bis n = 5; da sollte klar sein, dass sich das fortsetzt:

Ich habe zwei Lösungsvarianten.

Variante 1:

Für alle n gilt: n³ = n³ - n² + n² = n²(n - 1) + n².

Wir ersetzen n(n -1) durch z und das letzte n² durch die obige Summe:

n³ = n • z + 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1).

Das Produkt n • z denken wir uns als Summe von n Summanden z.

Durch Umstellen und Klammerung erhält man n³ folgendermaßen als Summe von n Summanden:

n³ = (z + 1) + (z + 3) + (z + 5) + ... + (z + 2n - 1)

mit z = n(n - 1).

Z.B. erhält man für n = 4
z = 12 und somit 4³ = 13 + 15 + 17 + 19

Variante 2:

Wir gehen aus von einer Folge von n aufeinander folgenden ungeraden Zahlen. Dann gibt es eine gerade Zahl z so, dass sich diese Folge in der Form

z+1, z+3, z+5, ..., z+2n−1

schreiben lässt.

Die Summe s dieser n ungeraden Zahlen formen wir um in

s = n • z + ( 1+3+5+...+(2n−1) ).

In der äußeren Klammer steht die Summe der ersten n ungeraden Zahlen; die ist gleich n² (siehe oben).

Also haben wir für die Gesamtsumme

s = n • z + n² = n (z + n).

Nun sieht man: Damit s = n³ wird , muss z + n = n² sein, also z = n² - n.

Somit reichen die Zahlen der Folge von z + 1 = n² - n + 1 bis z + 2n - 1 = n² + n - 1.

Z.B. erhält man für n = 4
n² - n + 1 = 13 und n² + n - 1 = 19
und somit 4³ = 13 + 15 + 17 + 19