Eine Lösung

[Rolf B]

Moin,

dann schreibe ich auch mal meine Lösung nieder.

Zunächst informell:

Um $$k^3$$ zu berechnen, summiere man k aufeinander folgende ungerade Zahlen $$u_i$$. Für k=1 beginnt man bei 1, für k > 1 beginnt man bei der ersten ungeraden Zahl, die für (k-1) nicht mehr verwendet wurde.

D.h. für ein bestimmtes k überspringe ich 1+2+3+...+(k-1) ungerade Zahlen, das sind $$\displaystyle P=\sum_{t_1}^{k-1}t$$ Zahlen. Ich beginne also mit der (P+1)-ten ungeraden Zahl und summiere bis zur (P+k)-ten ungeraden Zahl, das sind k ungerade Zahlen. Um P zu berechnen, kann ich die Gaußsche Formel verwenden.

Die formale Behauptung ist also: $$\displaystyle k^3=\sum_{i=P+1}^{P+k}(2i-1)$$ mit $$\displaystyle P=\frac{k-1}{2}k$$

k	P	Summanden	Summe
1	0	$$u_1=1$$ bis $$u_1=1$$	$$1^3=1=1$$
2	1	$$u_2=3$$ bis $$u_3=5$$	$$2^3=8=3+5$$
3	3	$$u_4=7$$ bis $$u_6=11$$	$$3^3=27=7+9+11$$
4	6	$$u_7=13$$ bis $$u_{10}=19$$	$$4^3=64=13+15+17+19$$
5	10	$$u_{11}=21$$ bis $$u_{15}=29$$	$$5^3=125=21+23+...+29$$
6	15	$$u_{16}=31$$ bis $$u_{21}=41$$	$$6^3=216=31+33+...+41$$

Das will nun formal nachgewiesen werden. Dazu schreibe ich die Behauptung etwas um: statt von P+1 bis P+k summiere ich von 1 bis P+k und ziehe davon die Summe von 1 bis P wieder ab. Das ist eine Standardoperation für den Summenoperator und kommt auf das selbe hinaus.

$$\displaystyle k^3=\sum_{i=P+1}^{P+k}(2i-1) = \sum_{i=1}^{P+k}(2i-1) - \sum_{i=1}^{P}(2i-1)$$

Dass $$\displaystyle K^2=\sum_{i=1}^{K}(2i-1)$$ ist, wissen wir aus der Schule. Anwenden:

$$=(P+k)^2-P^2$$
(binomische Formel anwenden)
$$= 2\cdot P\cdot k + k^2$$
(Definition für P einsetzen)
$$=2\cdot\frac{k-1}{2}k\cdot k + k^2$$
$$=(k-1)k^2+k^2$$
$$=k^3-k^2+k^2$$
$$=k^3$$

Also: Für ein gegebenes k>0 ergibt die Summe der k ungeraden Zahlen ab der (P+1)-ten ungeraden Zahl, mit $$\displaystyle P=\sum_{t=1}^{k}t = \frac{k-1}{2}k$$, den Wert $$k^3$$. Nach k=0 war nicht gefragt, aber da die Summe von 0 Zahlen den Wert 0 ergibt, gilt die Aussage auch für k=0.

Rolf