@@Gunnar Bittersmann > Lange Rede … Hier nun die Aufgabe: Berechne $$\sqrt{30 \cdot 31 \cdot 32 \cdot 33 +1}$$ – ohne Taschenrechner, versteht sich. Ich muss gestehen, ich hab losgerechnet und gerechnet und gerechnet und dann doch zwischendurch mal den Taschenrechner bemüht, um zu sehen, was denn rauskommen soll. Und dann von der Lösung ausgehend reverse engineering, bis ich auf dasselbe kam, was ich vom Startpunkt auch schon hatte. Das könnte ich euch hier als durchgängigen Lösungsweg präsentieren, wie man die Aufgabe ohne Taschenrechner lösen kann, aber ich erspar euch das. Der wohl einfachste Weg ist in den Kommentaren zu dem [Video](https://www.youtube.com/watch?v=puy7wrEnGKY), wo ich die Aufgabe herhabe: Wir sortieren die Faktoren etwas um: 30 · 33 kann man im Kopf rechnen: 990. 31 · 32 = 31 · 2⁵ kann man auch im Kopf rechnen: 31 fünfmal verdoppeln: 62, 124, 248, 496, 992. $$\begin{align} \sqrt{30 \cdot 33 \cdot 31 \cdot 32 + 1} &= \sqrt{990 \cdot 992 + 1}\\\\\ &= \sqrt{(991 - 1) (991 + 1) + 1}\\\\\ &= \sqrt{991^2 - 1 + 1}\\\\\ &= 991 \end{align}$$ (Da sindse wieder, die unterschiedlich hohen Wurzelzeichen.) @encoder schrieb mir: *„… und wenn man sich ansieht was man bei dieser Rechnerei gemacht hat, kann man sich fragen ob es noch weitere solche Zahlen-Quartetts gibt, für die das entsprechend gilt 😉“* Gute Frage. Für *n* ∈ ℕ ist $$\begin{align} \sqrt{n (n+1) (n+2) (n+3) + 1} &= \sqrt{n (n+3) \cdot (n+1) (n+2) + 1}\\\\\ &= \sqrt{(n^2+3n) \cdot (n^2+3n+2) + 1}\\\\\ &= \sqrt{\left((n^2+3n+1)-1\right) \cdot \left((n^2+3n+1)+1\right) + 1}\\\\\ &= \sqrt{(n^2+3n+1)^2 - 1 + 1}\\\\\ &= n^2+3n+1 \end{align}$$ Für *n* = 30 kann man *n*² + 3*n* + 1 auch im Kopf rechnen. 🖖 Live long and prosper {:@en} PS: Ich erinnerte mich: da war doch war mit der Align-Umgebung in LaTeX … Im Archiv gesucht und [gefunden](https://forum.selfhtml.org/self/2023/oct/15/verstehe-einfache-mathematische-umformung-nicht/1811105#m1811105): *„So, und nun weiß ich auch wieder, wie das mit dem align geht.“* Na toll, und sobald das Posting im Archiv ist und es kein Antworten mit Zitat und Bearbeiten mehr gibt, kommt man an den LaTeX-Quelltext nicht mehr ran. Irgendwan werde ich mich wieder erinnern: da war doch war mit der Align-Umgebung in LaTeX … Also fürs Archiv der LaTeX-Quelltext: ```latex \begin{align} \sqrt{30 \cdot 33 \cdot 31 \cdot 32 + 1} &= \sqrt{990 \cdot 992 + 1}\\\\\ &= \sqrt{(991 - 1) (991 + 1) + 1}\\\\\ &= \sqrt{991^2 - 1 + 1}\\\\\ &= 991 \end{align} ``` Multiple Backslash-Zeichen – ein sicheres Zeichen für einen kranken Geist. (frei nach Terry Pratchett) 🖖 Live long and prosper {:@en} -- *“In my home, the America I love, the America I've written about, that has been a beacon of hope and liberty for 250 years, is currently in the hands of a corrupt, incompetent and treasonous administration. Tonight, we ask all who believe in democracy and the best of our American spirit, to rise with us, raise your voices against authoritarianism, and let freedom reign.”*{:@en} — Bruce Springsteen, Manchester 2025-05-14

@@Gunnar Bittersmann > Lange Rede … Hier nun die Aufgabe: Berechne $$\sqrt{30 \cdot 31 \cdot 32 \cdot 33 +1}$$ – ohne Taschenrechner, versteht sich. Ich muss gestehen, ich hab losgerechnet und gerechnet und gerechnet und dann doch zwischendurch mal den Taschenrechner bemüht, um zu sehen, was denn rauskommen soll. Und dann von der Lösung ausgehend reverse engineering, bis ich auf dasselbe kam, was ich vom Startpunkt auch schon hatte. Das könnte ich euch hier als durchgängigen Lösungsweg präsentieren, wie man die Aufgabe ohne Taschenrechner lösen kann, aber ich erspar euch das. Der wohl einfachste Weg ist in den Kommentaren zu dem [Video](https://www.youtube.com/watch?v=puy7wrEnGKY), wo ich die Aufgabe herhabe: Wir sortieren die Faktoren etwas um: 30 · 33 kann man im Kopf rechnen: 990. 31 · 32 = 31 · 2⁵ kann man auch im Kopf rechnen: 31 fünfmal verdoppeln: 62, 124, 248, 496, 992. $$\begin{align} \sqrt{30 \cdot 33 \cdot 31 \cdot 32 + 1} &= \sqrt{990 \cdot 992 + 1}\\\\\ &= \sqrt{(991 - 1) (991 + 1) + 1}\\\\\ &= \sqrt{991^2 - 1 + 1}\\\\\ &= 991 \end{align}$$ (Da sindse wieder, die unterschiedlich hohen Wurzelzeichen.) @encoder schrieb mir: *„… und wenn man sich ansieht was man bei dieser Rechnerei gemacht hat, kann man sich fragen ob es noch weitere solche Zahlen-Quartetts gibt, für die das entsprechend gilt 😉“* Gute Frage. Für *n* ∈ ℕ ist $$\begin{align} \sqrt{n (n+1) (n+2) (n+3) + 1} &= \sqrt{n (n+3) \cdot (n+1) (n+2) + 1}\\\\\ &= \sqrt{(n^2+3n) \cdot (n^2+3n+2) + 1}\\\\\ &= \sqrt{\left((n^2+3n+1)-1\right) \cdot \left((n^2+3n+1)+1\right) + 1}\\\\\ &= \sqrt{(n^2+3n+1)^2 - 1 + 1}\\\\\ &= n^2+3n+1 \end{align}$$ Für *n* = 30 kann man das auch im Kopf rechnen. 🖖 Live long and prosper {:@en} PS: Ich erinnerte mich: da war doch war mit der Align-Umgebung in LaTeX … Im Archiv gesucht und [gefunden](https://forum.selfhtml.org/self/2023/oct/15/verstehe-einfache-mathematische-umformung-nicht/1811105#m1811105): *„So, und nun weiß ich auch wieder, wie das mit dem align geht.“* Na toll, und sobald das Posting im Archiv ist und es kein Antworten mit Zitat und Bearbeiten mehr gibt, kommt man an den LaTeX-Quelltext nicht mehr ran. Irgendwan werde ich mich wieder erinnern: da war doch war mit der Align-Umgebung in LaTeX … Also fürs Archiv der LaTeX-Quelltext: ```latex \begin{align} \sqrt{30 \cdot 33 \cdot 31 \cdot 32 + 1} &= \sqrt{990 \cdot 992 + 1}\\\\\ &= \sqrt{(991 - 1) (991 + 1) + 1}\\\\\ &= \sqrt{991^2 - 1 + 1}\\\\\ &= 991 \end{align} ``` Multiple Backslash-Zeichen – ein sicheres Zeichen für einen kranken Geist. (frei nach Terry Pratchett) 🖖 Live long and prosper {:@en} -- *“In my home, the America I love, the America I've written about, that has been a beacon of hope and liberty for 250 years, is currently in the hands of a corrupt, incompetent and treasonous administration. Tonight, we ask all who believe in democracy and the best of our American spirit, to rise with us, raise your voices against authoritarianism, and let freedom reign.”*{:@en} — Bruce Springsteen, Manchester 2025-05-14

@@Gunnar Bittersmann > Lange Rede … Hier nun die Aufgabe: Berechne $$\sqrt{30 \cdot 31 \cdot 32 \cdot 33 +1}$$ – ohne Taschenrechner, versteht sich. Ich muss gestehen, ich hab losgerechnet und gerechnet und gerechnet und dann doch zwischendurch mal den Taschenrechner bemüht, um zu sehen, was denn rauskommen soll. Und dann von der Lösung ausgehend reverse engineering, bis ich auf dasselbe kam, was ich vom Startpunkt auch schon hatte. Das könnte ich euch hier als durchgängigen Lösungsweg präsentieren, wie man die Aufgabe ohne Taschenrechner lösen kann, aber ich erspar euch das. Der wohl einfachste Weg ist in den Kommentaren zu dem [Video](https://www.youtube.com/watch?v=puy7wrEnGKY), wo ich die Aufgabe herhabe: Wir sortieren die Faktoren etwas um: 30 · 33 kann man im Kopf rechnen: 990. 31 · 32 = 31 · 2⁵ kann man auch im Kopf rechnen: 31 fünfmal verdoppeln: 62, 124, 248, 496, 992. $$\begin{align} \sqrt{30 \cdot 33 \cdot 31 \cdot 32 + 1} &= \sqrt{990 \cdot 992 + 1}\\\\\ &= \sqrt{(991 - 1) (991 + 1) + 1}\\\\\ &= \sqrt{991^2 - 1 + 1}\\\\\ &= 991 \end{align}$$ (Da sindse wieder, die unterschiedlich hohen Wurzelzeichen.) @encoder schrieb mir: *„… und wenn man sich ansieht was man bei dieser Rechnerei gemacht hat, kann man sich fragen ob es noch weitere solche Zahlen-Quartetts gibt, für die das entsprechend gilt 😉“* Gute Frage. Für *n* ∈ ℕ ist $$\begin{align} \sqrt{n (n+1) (n+2) (n+3) + 1} &= \sqrt{n (n+3) \cdot (n+1) (n+2) + 1}\\\\\ &= \sqrt{(n^2+3n) \cdot (n^2+3n+2) + 1}\\\\\ &= \sqrt{\left((n^2+3n+1)-1\right) \cdot \left((n^2+3n+1)+1\right) + 1}\\\\\ &= \sqrt{(n^2+3n+1)^2 - 1 + 1}\\\\\ &= n^2+3n+1 \end{align}$$ 🖖 Live long and prosper {:@en} PS: Ich erinnerte mich: da war doch war mit der Align-Umgebung in LaTeX … Im Archiv gesucht und [gefunden](https://forum.selfhtml.org/self/2023/oct/15/verstehe-einfache-mathematische-umformung-nicht/1811105#m1811105): *„So, und nun weiß ich auch wieder, wie das mit dem align geht.“* Na toll, und sobald das Posting im Archiv ist und es kein Antworten mit Zitat und Bearbeiten mehr gibt, kommt man an den LaTeX-Quelltext nicht mehr ran. Irgendwan werde ich mich wieder erinnern: da war doch war mit der Align-Umgebung in LaTeX … Also fürs Archiv der LaTeX-Quelltext: ```latex $$\begin{align} \sqrt{990 \cdot 992 + 1} &= \sqrt{(991 - 1) (991 + 1) + 1}\\\\\ &= \sqrt{991^2 - 1 + 1}\\\\\ &= 991 \end{align}$$ ``` Multiple Backslash-Zeichen – ein sicheres Zeichen für einen kranken Geist. (frei nach Terry Pratchett) 🖖 Live long and prosper {:@en} -- *“In my home, the America I love, the America I've written about, that has been a beacon of hope and liberty for 250 years, is currently in the hands of a corrupt, incompetent and treasonous administration. Tonight, we ask all who believe in democracy and the best of our American spirit, to rise with us, raise your voices against authoritarianism, and let freedom reign.”*{:@en} — Bruce Springsteen, Manchester 2025-05-14