@@Gunnar Bittersmann > Wie groß ist die Fläche des Quadrats?  Sei *a* die Seitenlänge des Quadrats und *r* der Radius des Kreises. Wie man leicht sieht, ist der Durchmesser 2*r* = *a* + 1. Was nicht alle gesehen haben (manche haben mit Wurzeln rumgemacht): Pythagoras im in der Skizze eingezeichneten Dreieck: $$\begin{align} \left(r-1\right)^2 + \left(\tfrac{1}{2}a\right)^2 &= r^2\\\\\ r^2-2r+1 + \tfrac{1}{4}a^2 &= r^2\\\\\ \tfrac{1}{4}a^2 &= 2r-1 = a\\\\\ \end{align}$$ Die Triviallösung 0 interessiert uns nicht, wir teilen durch ¼*a* und bekommen *a* = 4. Die gesuchte Fläche ist also **16**. So wurde’s auch in dem [Video](https://www.youtube.com/shorts/OG9k_MPli1U) gemacht, wo ich die Aufgabe herhabe. Es geht aber noch einfacher: über den Höhensatz – so wie’s @ottogal gemacht hat (der will uns ein *x* für ein *a* vormachen): > passende Hilfslinien helfen: > > [](/images/510ec86c-8ca6-11f0-a39b-9c6b003e9157.png) > > Das blaue Dreieck ist rechtwinklig (Thales). Damit lässt sich der Höhensatz anwenden: > > $$x \cdot 1 = (\frac{x}{2})²$$ > > Das ergibt $$x = 4$$, also die Quadratfläche $$x² = 16$$. 🖖 Live long and prosper {:@en} -- *“In my home, the America I love, the America I've written about, that has been a beacon of hope and liberty for 250 years, is currently in the hands of a corrupt, incompetent and treasonous administration. Tonight, we ask all who believe in democracy and the best of our American spirit, to rise with us, raise your voices against authoritarianism, and let freedom reign.”*{:@en} — Bruce Springsteen, Manchester 2025-05-14

@@Gunnar Bittersmann > Wie groß ist die Fläche des Quadrats?  Sei *a* die Seitenlänge des Quadrats und *r* der Radius des Kreises. Wie man leicht sieht, ist der Durchmesser 2*r* = *a* + 1. Was nicht alle gesehen haben (manche haben mit Wurzeln rumgemacht): Pythagoras im in der Skizze eingezeichneten Dreieck: $$\begin{align} \left(r-1\right)^2 + \left(\tfrac{1}{2}a\right)^2 &= r^2\\\\\ r^2-2r+1 + \tfrac{1}{4}a^2 &= r^2\\\\\ \tfrac{1}{4}a^2 &= 2r-1 = a\\\\\ \end{align}$$ Die Triviallösung 0 interessiert uns nicht, wir teilen durch ¼*a* und bekommen *a* = 4. Die gesuchte Fläche ist also **16**. So wurde’s auch in dem [Video](https://www.youtube.com/shorts/OG9k_MPli1U) gemacht, wo ich die Aufgabe herhabe. Es geht aber noch einfacher: über den Höhensatz – so wie’s @ottogal gemacht hat: > passende Hilfslinien helfen: > > [](/images/510ec86c-8ca6-11f0-a39b-9c6b003e9157.png) > > Das blaue Dreieck ist rechtwinklig (Thales). Damit lässt sich der Höhensatz anwenden: > > $$x \cdot 1 = (\frac{x}{2})²$$ > > Das ergibt $$x = 4$$, also die Quadratfläche $$x² = 16$$. 🖖 Live long and prosper {:@en} -- *“In my home, the America I love, the America I've written about, that has been a beacon of hope and liberty for 250 years, is currently in the hands of a corrupt, incompetent and treasonous administration. Tonight, we ask all who believe in democracy and the best of our American spirit, to rise with us, raise your voices against authoritarianism, and let freedom reign.”*{:@en} — Bruce Springsteen, Manchester 2025-05-14