Mathematik zur Wochenmitte

[Gunnar Bittersmann]

Hallo Rätselfreunde! Mal wieder eine Aufgabe mit Skizze:

Rechtwinkliges Dreieck mit ganzzahligen Seitenlängen, eine Kathete ist 10 lang. Wie lang sind die beiden anderen Seiten?

🖖 Live long and prosper

PS: Lösungen wie immer nicht hier verraten, sondern per DM (Post) an mich.

[Rolf B]

Hallo Gunnar,

ups, fast vergessen, schnell noch eingesendet bevor die Woche rum ist

Rolf

[Gunnar Bittersmann]

@@Gunnar Bittersmann

Rechtwinkliges Dreieck mit ganzzahligen Seitenlängen, eine Kathete ist 10 lang. Wie lang sind die beiden anderen Seiten?

Es gingen etliche Lösungen ein. Bei manchen weiß ich nicht, ob da Lücken in der Argumentation liegen oder in meinem Verständnis.

Einige haben’s mit Fallunterscheidung gelöst. Ja, mit Durchprobieren kommt man auch zur Lösung. Ohne aber auch:

Die gesuchten Seitenlängen seien a und b mit a, b ∈ ℕ⁺ und o.B.d.A. a > b.

Pythagoras: a² = b² + 10²,
also a² − b² = (a + b)(a − b) = 2² · 5².

Wenn a und b beide gerade oder beide ungerade sind, sind sowohl (a + b) als auch (a − b) gerade, andernfalls sind beide ungerade. Da eine gerade Zahl herauskommen soll, müssen beide Faktoren gerade sein. Jeder Faktor enthält also jeweils eine Zwei aus der Primzahlzerlegung der 100.

Bleiben noch die Fünfen zu verteilen. Jeweils eine auf die beiden Faktoren hieße a + b = a − b = 2 · 5, also b = 0, was nicht sein darf. Folglich muss der eine Faktor (und zwar der größere) beide Fünfen enthalten, d.h. a + b = 2 · 5² = 50 und a − b = 2, woraus sich a = 26 und b = 24 ergibt.

🖖 Live long and prosper