Warum braucht es im toAdmin()-Aufruf den Parameter $from_name, wenn es eine Konstante MAIL_FROM_NAME gibt?

Ich gehe mal davon aus, für mehr Flexibilität? Wenn man direkt die globale Variable nutzen würde, hätte ich nicht die Mailadresse des Absenders als from eintragen können, worum es hier ja geht.

Wenn Du den entsprechenden Header im Quelltext der erhaltenen Mail findest, und wenn dessen Inhalt formal korrekt ist, dann ja. Diese Seite beschreibt (auf englisch) den Unterschied zwischen dem From-Header und dem X-Env-From-Header. Auch in der (deutschen) Wikipedia gibt es etwas zu Envelope Sender.

Mein Provider behauptet, nach der Umstellung würde auch ein reply-to mit einer Domain, welche nicht in meinem Paket der Domains, die ich besitze, vorhanden ist, nicht mehr funktionieren. Deine beiden Links gehen auf diese vom Provider genannten Einschränkung nicht ein, vielmehr behaupten die, man könnte weiter einen falschen Absender angeben. Folglich wäre die bequeme Methode, dass wenn ich ein Mail von meiner Webseite bekomme, einfach mittels "antworten" dem Absender antworten kann, nicht mehr möglich.