Hallo!

Ich hätte folgende Frage: Ich habe die Vermutung, dass stets gilt: S>=M.
Kennt jemand hierfür den mathematischen Beweis (oder auch Gegenbeweis)?

Versuchs mal nur mit Werten 0 < Wert < 1

Hallo Richard.

Schau dir mal den Wikipedia-Artikel an. Dort wird die Standardabweichung anders definiert (so wie es auch kenne) und du findest dort auch ein Gegenbeispiel zu deiner These S>=M (die Tabelle).

Servus,
Flo

Hallo,

Ich habe folgende Definitionen (sqrt=Quadratwurzel, SUM=Summe über alle x(i) mit i=1..n), abs=Absolutbetrag:
Standardabweichung S=sqrt(1/n*SUM(x(i)^2))
arithmetisches Mittel M=1/n*SUM(abs(x(i)))

Ui. Woher hast Du denn das bitteschön?

Mal angenommen, Du hast eine Reihe von Zahlen (sagen wir mal, die stammen aus einer Messung). Wenn man annimmt, dass diese Zahlen gaussförmig verteilt sind (in den fast allen Fällen eine sehr vernünftige Annahme), dann ergeben sich folgende Messgrößen:

Arithmetisches Mittel: [latex]\bar x = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_i[/latex]

Standardabweichung: [latex]\sigma_x = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^N (x_i - \bar x)^2}{N-1}}[/latex]

Standardabweichung des Mittelwerts: [latex]\sigma_{\bar x} = \frac{\sigma_x}{\sqrt{N}} = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^N (x_i - \bar x)^2}{N (N-1)}}[/latex]

Bezogen auf eine Messung kann man das ganze so interpretieren: Der Mittelwert wäre das Messergebnis, die Standardabweichung wäre die mittlere Abweichung jedes Messwerts von jedem anderen und die Standardabweichung des Mittelwerts wäre die mittlere Abweichung jedes Messwerts vom Mittelwert.

Wenn man es etwas genauer haben will: Im Bereich [latex]\bar x \pm \sigma_{\bar x}[/latex] liegt der reale Wert mit etwa 68,3%er Wahrscheinlichkeit, im Bereich [latex]\bar x \pm 2 \sigma_{\bar x}[/latex] mit etwa 95.4%er Wahrscheinlichkeit, etc.

Mal ein Beispiel:

Gegeben sind die Messwerte 5.01, 5.02, 5.01, 5.03, 4.99, 5.01, 5.02 und 5.01. Der Mittelwert ist 5.0125. Die Standardabweichnug ist etwa 0.0116. Die Standardabweichung des Mittelwerts ist etwa 0.00412. Man würde, wenn man 1-Sigma-Genauigkeit will, das Messergebnis bei diesen Zahlen also als 5.013 +/- 0.004 angeben.

Viele Grüße,
Christian