Matthias Apsel: Mathematik zum Wochenende

Hallo alle!

Finde ein Dreieck, das sich in zwei gleichschenklige Dreiecke zerlegen lässt.

Finde ein Dreieck, das sich nicht in zwei gleichschenklige Dreiecke zerlegen lässt.

Welche Voraussetzungen muss ein Dreieck erfüllen, damit es sich in zwei gleichschenklige Dreiecke zerlegen lässt?

Bis demnächst
Matthias

--
Rosen sind rot.
  1. Hallo Matthias,

    Ich war der Meinung, dass das gar nicht geht, bis mir meine liebe Frau Gemahlin nach ca 5 Sekunden Nachdenken das Gegenteil bewies...

    Jetzt muss ich nur noch nachweisen, dass das die einzige Möglichkeit ist.

    Rolf

    --
    Dosen sind silbern
    1. Hallo Rolf B,

      es gibt mehr als eine Möglichkeit.

      Bis demnächst
      Matthias

      --
      Rosen sind rot.
      1. Hi,

        ich krieg für beide Fälle ein Beispiel konstruiert.

        Aber den dritten Teil (Bedingung für Teilbarkeit in 2 gleichschenklige) krieg ich nur teilweise hin - eine hinreichende, aber vermutlich (und laut Deiner Aussage, daß es mehr als eine Möglichkeit gibt) nicht notwendige Bedingung.

        cu,
        Andreas a/k/a MudGuard

        1. Hallo MudGuard,

          ich krieg für beide Fälle ein Beispiel konstruiert.

          Man muss schon wirklich zeigen, dass es nicht geht.

          Bis demnächst
          Matthias

          --
          Rosen sind rot.
        2. @@MudGuard

          ich krieg für beide Fälle ein Beispiel konstruiert.

          Es gibt mehr als zwei Fälle.

          LLAP 🖖

          --
          “When UX doesn’t consider all users, shouldn’t it be known as ‘Some User Experience’ or... SUX? #a11y” —Billy Gregory
          1. Hallo Gunnar Bittersmann,

            ich krieg für beide Fälle ein Beispiel konstruiert.

            Es gibt mehr als zwei Fälle.

            Es gibt aber in der Aufgabenstellung nur zwei Sätze, die mit „Finde ein Dreieck“ beginnen. 😜

            Bis demnächst
            Matthias

            --
            Rosen sind rot.
            1. @@Matthias Apsel

              Es gibt aber in der Aufgabenstellung nur zwei Sätze, die mit „Finde ein Dreieck“ beginnen. 😜

              Ach so. Den uninteressanten Teil überlese ich gern mal und stürze mich gleich auf „Welche Voraussetzungen muss ein Dreieck erfüllen …?“

              LLAP 🖖

              --
              “When UX doesn’t consider all users, shouldn’t it be known as ‘Some User Experience’ or... SUX? #a11y” —Billy Gregory
  2. Hallo alle,

    Welche Voraussetzungen muss ein Dreieck erfüllen, damit es sich in zwei gleichschenklige Dreiecke zerlegen lässt?

    Hinweis: 30°-60°-90° ist sozusagen das Superdreieck.

    Bis demnächst
    Matthias

    --
    Rosen sind rot.
  3. Hallo alle,

    Finde ein Dreieck, das sich in zwei gleichschenklige Dreiecke zerlegen lässt.

    Man erkennt sicher sehr schnell, dass sich das rechtwinklig-gleichschenklige Dreieck in zwei gleichschenklige zerlegen lässt.

    Dies gilt auch für alle rechtwinkligen Dreiecke, wenn man den Schnitt durch den Mittelpunkt der Hypotenuse und den Scheitel des rechten Winkels führt (Satz des Thales).

    Damit man überhaupt zwei Dreiecke erhält, muss der Schnitt durch einen Eckpunkt verlaufen. Wir tun mal so, als hätten wir eine Zerlegung des Dreiecks ABC gefunden (B liegt auf dem Strahl AX).

    An dieser Skizze ist zu sehen, dass die entstehenden Dreiecke nicht beide spitzwinklig sein können. Sie können allerdings beide rechtwinklig sein, dann haben wir den Fall des „Geodreiecks“.

    Finde ein Dreieck, das sich nicht in zwei gleichschenklige Dreiecke zerlegen lässt.

    Nehmen wir an, dass das Dreieck ABC gleichseitig ist. Das Dreieck ABX enthält also einen 60°-Winkel (bei A) und einen Winkel, der kleiner ist als 60° (bei C). Wenn der 60°-Winkel der Winkel in der Spitze ist, bleiben für die beiden Basiswinkel 120° also für jeden 60°; wenn der 60°-Winkel ein Basiswinkel ist, muss auch der Winkel in der Spitze 60° sein. Damit ist gezeigt, dass sich das gleichseitige Dreieck nicht in zwei gleichschenklige zerlegen lässt.

    Welche Voraussetzungen muss ein Dreieck erfüllen, damit es sich in zwei gleichschenklige Dreiecke zerlegen lässt?

    Wir tun wieder so, als hätten wir eine Zerlegung des Dreiecks ABC gefunden. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit schneiden wir von C durch c und so, dass das Dreieck AXC stumpfwinklig ist. Der Außenwinkel ξ bei X ist (wie man leicht sieht) doppelt so groß wie der Innenwinkel α bei A.

    Es gibt jetzt drei Möglichkeiten, ein gleichschenkliges Dreieck anzulegen, sodass ein Dreieck entsteht.

    ##1.##

    Die Innenwinkel des rechten Dreiecks betragen: ξ = β = 2_α_.

    Ein Dreieck lässt sich wie gewünscht zerlegen, wenn ein Innenwinkel doppelt so groß wie ein anderer ist.

    ##2.##

    Im rechten Dreieck ist der Winkel in der Spitze 2_α_ mithin die beiden Basiswinkel 90° - α. Der Winkel γ im Dreieck ABC setzt sich also zusammen aus α und 90° - α, ist also 90°.

    Ein Dreieck lässt sich wie gewünscht zerlegen, wenn es rechtwinklig ist. (Aber das wussten wir ja schon.)

    ##3.##

    In diesem Fall setzt sich der Winkel γ zusammen aus α und 2_α_ = 3_α_.

    Ein Dreieck lässt sich wie gewünscht zerlegen, wenn ein Innenwinkel drei mal so groß wie ein anderer ist.

    Bis demnächst
    Matthias

    --
    Rosen sind rot.
    1. @@Matthias Apsel

      Ein Dreieck lässt sich wie gewünscht zerlegen, wenn ein Innenwinkel doppelt so groß wie ein anderer ist.

      Nö.

      LLAP 🖖

      --
      “When UX doesn’t consider all users, shouldn’t it be known as ‘Some User Experience’ or... SUX? #a11y” —Billy Gregory
  4. @@Matthias Apsel hat die Lösung schon gepostet; ich zeige mal den Weg, wie ich zur Lösung gekommen bin.

    Welche Voraussetzungen muss ein Dreieck erfüllen, damit es sich in zwei gleichschenklige Dreiecke zerlegen lässt?

    Ich hab das Pferd von hinten aufgezäumt: Wie lassen sich zwei gleichschenklige Dreiecke so zusammenlegen, dass ein Dreick entsteht?

    Zwei gleichschenklige Dreiecke kann man an den Basen oder an den Schenkeln zusammenlegen oder die Basis des einen Dreiecks mit einem Schenkel des anderen.

    1. an den Basen:

      Dann entsteht ein Drachenviereck, kein Dreieck.

    2. an den Schenkeln: Hier gibt es zwei Möglichkeiten: Die Spitzen zusammen oder an gegenüberliegenden Enden.

      1. Spitzen zusammen:

        Damit ein Dreieck daraus wird, muss ∠ADB ein gestreckter Winkel sein, also
        π − 2α + π − 2β = π [1]
        α + β = ½π

        ACB ist also ein rechter.

        Man kommt auch anders drauf: C liegt auf dem Thales-Kreis über AB.

      2. Spitzen an gegenüberliegenden Enden:

        Damit ein Dreieck daraus wird, muss ∠ADB ein gestreckter Winkel sein, also
        α + π − 2β = π
        α = 2β

        Ein Innenwinkel des entstehenden Dreiecks ist doppelt so groß wie ein anderer.

    3. Basis des einen Dreiecks mit einem Schenkel des anderen:

      Damit ein Dreieck daraus wird, muss ∠ADB ein gestreckter Winkel sein, also
      α + π − 2β = π
      α = 2β
      α + β = 3β

      Ein Innenwinkel des entstehenden Dreiecks ist dreimal so groß wie ein anderer.

    Das entstehende Dreieck ist also rechtwinklig oder einer seiner Innenwinkel ist doppelt oder dreimal so groß wie ein anderer.

    Das sind dann auch genau die Bedingungen, die ein Dreieck erfüllen muss, damit man es in zwei gleichschenklige Dreiecke zerlegen kann.

    Es gibt ein Dreieck[2], dass alle drei Bedingungen erfüllt. Matthias nannte es „Superdreieck“; ich nenne es Zeichendreieck. (Nicht jenes, welches Matthias „Geodreieck“ nannte, sondern das andere von denen.)

    LLAP 🖖

    --
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    1. π = 180° ↩︎

    2. Es gibt unendlich viele solcher Dreiecke, die zueinander ähnlich sind. ↩︎

    1. @@Gunnar Bittersmann

      Das entstehende Dreieck ist also rechtwinklig oder einer seiner Innenwinkel ist doppelt oder dreimal so groß wie ein anderer.

      Das sind dann auch genau die Bedingungen, die ein Dreieck erfüllen muss, damit man es in zwei gleichschenklige Dreiecke zerlegen kann.

      Nein, das sind sie nicht. Passt denn hier niemand auf? Auch der @Matthias Apsel nicht? Hm, nein, der hatte es ja auch falsch.

      Das sind notwendige Bedingungen, aber keine hinreichenden.

      Schauen wir uns das nochmal an:

      1. Rechtwinkliges Dreieck:

        Die Teilung in zwei gleichschenklige Dreiecke erfolgt, indem der rechte Winkel durch die Seitenhalbierende zur Hypotenuse in α und β geteilt wird. Das gelingt immer.

      2. Dreieck mit einem Innenwinkel des Dreiecks doppelt so groß wie ein anderer, α = 2β:

        Die Teilung in zwei gleichschenklige Dreiecke erfolgt, indem der dritte Winkel (derjenige, der in der Zeichnung nicht mit α oder β beschriftet ist; dessen Größe beträgt π − 3β) in β und den Rest π − 4β geteilt wird.

        Damit das gelingt, muss 4β < π, also β < ¼π und α = 2β < ½π gelten.

        Dass ∠BAC ein spitzer Winkel sein muss, also α < ½π, sieht man auch aus der Zeichnung. Andernfalls gäbe es keinen solchen Punkt D, sodass AC = DC ist. (No pun intended.)

      3. Dreieck mit einem Innenwinkel des Dreiecks dreimal so groß wie ein anderer:

        Die Teilung in zwei gleichschenklige Dreiecke erfolgt, indem der Winkel der Größe 3β (derjenige, der dreimal so groß ist wie ein anderer) in β und α = 2β geteilt wird. Wie beim rechtwinkligen Dreieck gelingt das immer.

      Ein Dreieck lässt sich dann in zwei gleichschenklige Dreiecke zerlegen, wenn es rechtwinklig ist oder wenn ein Innenwinkel, der spitz sein muss, doppelt so groß ist wie ein anderer oder wenn ein Innenwinkel dreimal so groß ist wie ein anderer.

      LLAP 🖖

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      “When UX doesn’t consider all users, shouldn’t it be known as ‘Some User Experience’ or... SUX? #a11y” —Billy Gregory
      1. Hallo Gunnar Bittersmann,

        Ein Dreieck lässt sich dann in zwei gleichschenklige Dreiecke zerlegen, wenn es rechtwinklig ist oder wenn ein Innenwinkel, der spitz sein muss, doppelt so groß ist wie ein anderer oder wenn ein Innenwinkel dreimal so groß ist wie ein anderer.

        Nein, er darf auch 90° sein 😝

        Aber richtig: 40° 80° 50° geht nicht.

        Bis demnächst
        Matthias

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        Rosen sind rot.
        1. @@Matthias Apsel

          Ein Dreieck lässt sich dann in zwei gleichschenklige Dreiecke zerlegen, wenn es rechtwinklig ist oder wenn ein Innenwinkel, der spitz sein muss, doppelt so groß ist wie ein anderer oder wenn ein Innenwinkel dreimal so groß ist wie ein anderer.

          Nein, er darf auch 90° sein 😝

          Darf er. Glücklicherweise habe ich den Fall in einem anderen Oder-Zweig mit abgedeckt, sodass meine Gesamtaussage richtig sein dürfte. 😝

          LLAP 🖖

          --
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  5. @@Matthias Apsel

    Sei R die Menge der rechtwingligen Dreiecke, D die Menge der Dreiecke, in denen ein Innenwinkel doppelt so groß ist wie ein anderer, und T die Menge der Dreiecke, in denen ein Innenwinkel dreimal so groß ist wie ein anderer.

    Venn-Diagramm

    Wie wir gesehen haben, ist RDT die Menge aller Dreiecke, die sich in zwei gleichschenklige Dreiecke zerlegen lassen.

    Wie wir auch gesehen haben, ist RDT (die dunkel schraffierte Fläche im Venn-Diagramm) die Menge der Dreiecke mit den Innenwinkeln ⅙π, ⅓π, ½π (30°, 60°, 90°).

    Die Frage ist nun: Welche Dreiecke gehören jeweils zu den hell schraffierten Flächen, also (RD) ∖ T, (RT) ∖ D und (DT) ∖ R?

    LLAP 🖖

    --
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    1. @@Gunnar Bittersmann

      Sei R die Menge der rechtwinkligen Dreiecke, D die Menge der Dreiecke, in denen ein Innenwinkel doppelt so groß ist wie ein anderer, und T die Menge der Dreiecke, in denen ein Innenwinkel dreimal so groß ist wie ein anderer.

      Wie wir gesehen haben, ist RDT die Menge aller Dreiecke, die sich in zwei gleichschenklige Dreiecke zerlegen lassen.

      Und wie wir später gesehen haben, ist das nicht der Fall.

      Wir ändern die Aufgabe dahingehend ab, dass D die Menge der Dreiecke ist, in denen ein Innenwinkel doppelt so groß ist wie ein anderer, welcher aber nicht stumpf sein darf. (Hier lassen wir mal Matthias’ Anmerkung einfließen.)

      Dann ist RDT tatsächlich die Menge aller Dreiecke, die sich in zwei gleichschenklige Dreiecke zerlegen lassen.

      Die Frage ist nun: Welche Dreiecke gehören jeweils zu den hell schraffierten Flächen, also (RD) ∖ T, (RT) ∖ D und (DT) ∖ R?

      Im Folgenden werde ich der Einfachheit halber mit „Dreieck“ Klassen von Dreiecken bezeichnen, die einander ähnlich sind, also dieselben Innenwinkelgrößen haben, s.a. diese Fußnote.

      (RD) ∖ T

      RD sind alle rechtwinkligen Dreiecke ist, in denen ein Innenwinkel doppelt so groß ist wie ein anderer, welcher nicht stumpf sein darf. Es gibt 2 Möglichkeiten:

      1. Der Innenwinkel, der doppelt so groß ist wie ein anderer, ist der rechte Winkel. Die anderen beiden Winkel sind dann jeweils ¼π = 45° groß.

      2. Der Innenwinkel, der doppelt so groß ist wie ein anderer, ist nicht der rechte Winkel. Dann ergänzen sich die beiden Winkel zu ½π = 90°, ihre Größen sind also ⅙π = 30° und ⅓π = 60°. Damit ist der rechte Winkel dreimal so groß wie der kleinere der beiden anderen. Das Dreieck gehört folglich auch zu T, also zu RDT, nicht zu (RD) ∖ T.

      Zu (RD) ∖ T gehört nur das gleichschenklich-rechtwinklige Dreieck.

      (RT) ∖ D

      RT sind alle rechtwinkligen Dreiecke ist, in denen ein Innenwinkel dreimal so groß ist wie ein anderer. Es gibt wieder 2 Möglichkeiten:

      1. Der Innenwinkel, der dreimal so groß ist wie ein anderer, ist der rechte Winkel. Die anderen beiden Winkel sind dann ⅙π = 30° und ⅓π = 60° groß. Damit ist der der größere der beiden doppelt so groß wie der kleinere. Das Dreieck gehört folglich auch zu D, also zu RDT, nicht zu (RT) ∖ D.

      2. Der Innenwinkel, der dreimal so groß ist wie ein anderer, ist nicht der rechte Winkel. Dann ergänzen sich die beiden Winkel zu ½π = 90°, ihre Größen sind also ⅛π = 22½° und ⅜π = 67½°.

      Zu (RT) ∖ D gehört nur das letztgenannte Dreieck.

      (DT) ∖ R

      Bei DT sind 4 Fälle zu unterscheiden:

      1. Der mittelgroße Winkel ist doppelt so groß, der größte Winkel dreimal so groß wie der kleinste. Die Winkel betragen also ϕ, 2ϕ und 3ϕ.

        Mit ϕ + 2ϕ + 3ϕ = π ergibt sich ϕ = ⅙π, 2ϕ = ⅓π, 3ϕ = ½π, das dreieck ist also rechtwinklig; es gehört auch zu R, also zu RDT, nicht zu (DT) ∖ R.

      2. Der mittelgroße Winkel ist doppelt so groß wie der kleinste, der größte Winkel ist dreimal so groß wie der mittelgroße. Die Winkel betragen also ϕ, 2ϕ und 6ϕ.

        Mit ϕ + 2ϕ + 6ϕ = π ergibt sich ϕ = ⅟₉π = 20°, 2ϕ = ²⁄₉π = 40°, 6ϕ = ⅔π = 120°.

        Der Winkel, der doppelt so groß ist wie ein anderer, ist ²⁄₉π ≤ ½π. Alles gut.

      3. Der mittelgroße Winkel ist dreimal so groß wie der kleinste, der größte Winkel ist doppelt so groß wie der mittelgroße. Die Winkel betragen also ϕ, 3ϕ und 6ϕ.

        Mit ϕ + 3ϕ + 6ϕ = π ergibt sich ϕ = ⅟₁₀π = 18°, 3ϕ = ³⁄₁₀π = 54°, 6ϕ = ³⁄₅π = 108°.

        Der Winkel, der doppelt so groß ist wie ein anderer, ist ³⁄₅π > ½π. Peng, das Dreieck gehört nicht zu D.

      4. Der größte Winkel ist dreimal so groß wie der kleinste und doppelt so groß wie der mittelgroße. Die Winkel betragen also , 3ϕ und 6ϕ.

        Nachtrag: Kudos to Matthias. Ohne ihn hätte ich diesen Fall glatt übersehen.

        Mit 2ϕ + 3ϕ + 6ϕ = π ergibt sich 2ϕ = ²⁄₁₁π, 3ϕ = ³⁄₁₁π, 6ϕ = ⁶⁄₁₁π. (Das Umrechnen in Grad spare ich mir hier mal.)

        Der Winkel, der doppelt so groß ist wie ein anderer, ist ⁶⁄₁₁π > ½π. Auch dieses Dreieck gehört nicht zu D.

      Zu (DT) ∖ R gehört nur das zweitgenannte Dreieck mit den Winkeln ⅟₉π = 20°, ²⁄₉π = 40°, ⅔π = 120°. (Rechtwinklig ist es ja nicht.)

      LLAP 🖖

      --
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  6. @@Matthias Apsel

    Finde ein Dreieck, das sich in zwei gleichschenklige Dreiecke zerlegen lässt.

    Da haben wir welche gefunden. Nun aber die Frage:

    Gibt es Dreiecke, die sich auf verschiedene Weise in in zwei gleichschenklige Dreiecke zerlegen lassen?

    LLAP 🖖

    --
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    1. Hallo Gunnar Bittersmann,

      Gibt es Dreiecke, die sich auf verschiedene Weise in in zwei gleichschenklige Dreiecke zerlegen lassen?

      Das können ja höchstens die aus den hell schraffierten Flächen sein, oder bin ich da zu voreilig?

      Bis demnächst
      Matthias

      --
      Rosen sind rot.
      1. @@Matthias Apsel

        Gibt es Dreiecke, die sich auf verschiedene Weise in in zwei gleichschenklige Dreiecke zerlegen lassen?

        Das können ja höchstens die aus den hell schraffierten Flächen sein, oder bin ich da zu voreilig?

        Na so ein Schelm, dieser Gunnar. Stellt zwei Aufgaben und tut so, als hätten die nichts miteinander zu tun. 😆

        LLAP 🖖

        --
        “When UX doesn’t consider all users, shouldn’t it be known as ‘Some User Experience’ or... SUX? #a11y” —Billy Gregory
      2. @@Matthias Apsel

        Gibt es Dreiecke, die sich auf verschiedene Weise in in zwei gleichschenklige Dreiecke zerlegen lassen?

        Das können ja höchstens die aus den hell schraffierten Flächen sein, oder bin ich da zu voreilig?

        Ach so, die Antwort auf den ersten Teil deiner Frage ist: nein. 😜

        LLAP 🖖

        --
        “When UX doesn’t consider all users, shouldn’t it be known as ‘Some User Experience’ or... SUX? #a11y” —Billy Gregory
      3. @@Matthias Apsel

        Gibt es Dreiecke, die sich auf verschiedene Weise in zwei gleichschenklige Dreiecke zerlegen lassen?

        Das können ja höchstens die aus den hell schraffierten Flächen sein, oder bin ich da zu voreilig?

        Matthias hat natürlich die Lunte gerochen. Wenn sich ein Dreiecke auf verschiedene Weise in in zwei gleichschenklige Dreiecke zerlegen lassen können soll, muss es mindestens 2 der Mengen R, D, T angehören, da es für jede dieser Mengen jeweils eine Art der Zerlegung gibt.

        Mindestens 2, nicht genau 2. Matthias hatte die dunkel schraffierte Fläche vergessen.

        Es ist also für die 4 gefundenen Dreiecke jeweils zu prüfen, ob die verschiedenen Arten der Zerlegung zu verschiedenen Schnittlinien führen oder ob diese zusammenfallen.

        Die Zerlegungen nochmal:

        • R-Zerlegung: rechter Winkel wird durch die Seitenhalbierende zur Hypotenuse in α und β geteilt

        • D-Zerlegung: der dritte Winkel (nicht α = 2β oder β; dessen Größe beträgt π − 3β) wird in β und den Rest π − 4β geteilt

        • T-Zerlegung: Winkel der Größe 3β (derjenige, der dreimal so groß ist wie ein anderer) wird in β und α = 2β geteilt

        RDT: das Dreieck mit den Winkeln ⅙π = 30°, ⅓π = 60°, ½π = 90°

        R-, D- und T-Zerlegung ergeben dieselbe Schnittlinie:

        (RD) ∖ T: das Dreieck mit den Winkeln ¼π = 45°, ¼π = 45°, ½π = 90°

        D-Zerlegung geht gar nicht, die gibt’s ja nur, wenn der Winkel, der doppelt so groß ist wie ein anderer, spitz ist. (War doch nicht die beste Idee, Matthias’ Anmerkung einfließen zu lassen?)

        R-Zerlegung also einzig mögliche.

        (RT) ∖ D: das Dreieck mit den Winkeln ⅛π = 22½°, ⅜π = 67½°, ½π = 90°

        R-Zerlegung ergibt:

        T-Zerlegung ergibt:

        (DT) ∖ R: das Dreieck mit den Winkeln ⅟₉π = 20°, ²⁄₉π = 40°, ⅔π = 120°

        D-Zerlegung ergibt:

        T-Zerlegung ergibt:

        TL;DR:

        Die Zeichendreiecke lassen sich nur auf eine Art in zwei gleichschenklige Dreiecke zerlegen.

        Die beiden Dreiecke mit den Winkeln ⅛π = 22½°, ⅜π = 67½°, ½π = 90° und ⅟₉π = 20°, ²⁄₉π = 40°, ⅔π = 120° lassen sich auf zwei verschiedene Weisen in zwei gleichschenklige Dreiecke zerlegen.

        LLAP 🖖

        --
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