Matthias Apsel: Mathematik zum Wochenende - Lösung für einen Spezialfall

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Hallo Matthias Apsel,

Man kann sich relativ leicht davon überzeugen, dass es im konkreten Fall eine solche Höhe nicht geben kann. Aber wie sieht es mit den Begrenzungsradien r/2 und 3r/2 aus?

Gerechnet für folgende Werte:

Zylinder: h = 10; r = 1; V = 10π
Stumpf: r = 1/2; R = 2; V = 10π

Aus $$V = \frac{π}{3} \left(R^2 + Rr + r^2 \right)$$ ergibt sich eine Höhe für den Stumpf von $$\frac{40}{7}$$.

Jetzt können wir den Kegelstumpf als Rotationskörper betrachten, der Begrenzungsgraph ist die Strecke durch die Punkte $$A\left(0;\frac{1}{2}\right)$$ und $$B\left(\frac{40}{7};2\right)$$, $$y=\frac{21}{80}x+\frac{1}{2}$$.

Das Volumen in Abhängigkeit von der Füllhöhe ergibt sich für den Zylinder zu V = πh und für den Stumpf zu

$$V(h)=π\int\limits_0^h \left(\frac{21}{80}h+\frac{1}{2}\right)^2,dh=π\frac{h\left(147h^2+840h+1600\right)}{6400}$$

Gleichsetzen ergibt neben der trivialen Lösung noch $$h_{2/3}=\frac{-20}{7}\left(1\pm\sqrt{5}\right)$$.

Da gilt $$0< \frac{-20}{7}\left(1-\sqrt{5}\right) < \frac{40}{7}$$, haben diese beiden Gläser bei einer Füllhöhe von ca. 3,53cm denselben Inhalt.

Bis demnächst
Matthias

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Rosen sind rot.