Matthias Apsel: Mathematik für den Sommer

Hallo alle,

morgen geht es auf die wohlverdiente Fahrradtour. Deshalb möchte ich es nicht versäumen, euch mit einer kleinen Aufgabe zu bedenken.

Gegeben ist ein Trapez ABCD.

Es gilt: a = AD || BC = b, ∠DAB = ∠ABC = ∟.

Berechne den Abstand des Diagonalenschnittpunktes zu AB.

Bis demnächst
Matthias

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Pantoffeltierchen haben keine Hobbys.
¯\_(ツ)_/¯
  1. Hallo Matthias Apsel,

    Falls noch jemand Lust hat …

    Ich bin bald wieder zu Hause. Dann muss ich mir mal anschauen, wie Gunnar auf seinen ersten Satz kommt 😔

    Bis demnächst
    Matthias

    --
    Pantoffeltierchen haben keine Hobbys.
    ¯\_(ツ)_/¯
  2. Hallo Matthias Apsel,

    Ohne Beschränkung der Allgemeinheit haben die Eckpunkte des Trapezes die Koordinaten:

    $$A(0 | 0), B(1 | 0), C(1 | b), D(0 | a)$$

    Dann haben die Geraden, auf denen die Diagonalen liegen, die Gleichungen

    $$y = a x \ \text{und} \ y = -b x + b$$

    Gleichsetzen liefert die x-Koordinate des Schnittpunktes mit

    $$ x = \frac{b}{a + b}$$

    Da wir die y-Koordinate brauchen, müssen wir dies noch in die Gleichung der einen Diagonale einsetzen und erhalten den gesuchten Abstand zu

    $$ d = y = \frac{ab}{a + b}$$

    @Gunnar Bittersmann hat das Trapez so gedreht, dass der gesuchte Abstand bereits die x-Koordinate des Schnittpunktes ist. Dadurch spart er sich die zweite Einsetzen, die Gleichungen werden aber etwas komplizierter. Zudem schrieb er: „Da die Widerstände a und b parallel liegen, ergibt sich der gesuchte Abstand d aus ihrer Parallelschaltung“ Hierzu bitte ich um Aufkärung.

    Es gibt auch noch eine schöne Lösung, die die Ähnlichkeit von Dreiecken ausnutzt. Die kann ich bei Interesse nachliefern.

    Bis demnächst
    Matthias

    --
    Pantoffeltierchen haben keine Hobbys.
    ¯\_(ツ)_/¯
    1. @@Matthias Apsel

      Zudem schrieb er: „Da die Widerstände a und b parallel liegen, ergibt sich der gesuchte Abstand d aus ihrer Parallelschaltung“ Hierzu bitte ich um Aufkärung.

      Parallelschaltung von Widerständen

      Wenn du zwei Widerstände a und b parallel schaltest, ist der Gesamtwiderstand

      $$R = \frac{ab}{a + b}$$

      also gleich dem gesuchten Abstand. Meine augenzwinkernde „Erklärung“ bezog sich nur auf die Form des Terms; einen Zusammenhang zwischen Geometrie und Elektrik hab ich nicht gesehen. Wenn jemand einen findet, immer her damit.

      Es gibt auch noch eine schöne Lösung, die die Ähnlichkeit von Dreiecken ausnutzt. Die kann ich bei Interesse nachliefern.

      Immer her damit.

      LLAP 🖖

      --
      „Wer durch Wissen und Erfahrung der Klügere ist, der sollte nicht nachgeben. Und nicht aufgeben.“ —Kurt Weidemann
      1. Hallo Gunnar Bittersmann,

        Meine augenzwinkernde „Erklärung“ bezog sich nur auf die Form des Terms; einen Zusammenhang zwischen Geometrie und Elektrik hab ich nicht gesehen.

        Da bin ich beruhigt.

        Es gibt auch noch eine schöne Lösung, die die Ähnlichkeit von Dreiecken ausnutzt. Die kann ich bei Interesse nachliefern.

        Die Dreiecke ASD und CSD sind ähnlich. Es gilt:

        $$\frac{b-h}{b}=\frac{h}{a}$$

        Bis demnächst
        Matthias

        --
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        ¯\_(ツ)_/¯
        1. @@Matthias Apsel

          Geometrische Lösungen sind irgendwie schöner als analytische.

          LLAP 🖖

          --
          „Wer durch Wissen und Erfahrung der Klügere ist, der sollte nicht nachgeben. Und nicht aufgeben.“ —Kurt Weidemann
        2. Hallo,

          Die Dreiecke ASD und CSD sind ähnlich.

          du meintest bestimmt ASD und CSB.

          Ciao,
           Martin

          --
          Computer müssen weiblich sein: Eigensinnig, schwer zu durchschauen, immer für Überraschungen gut - aber man möchte sie nicht missen.
          1. Hallo Der Martin,

            Die Dreiecke ASD und CSD sind ähnlich.

            du meintest bestimmt ASD und CSB.

            Stimmt. 🎃

            Bis demnächst
            Matthias

            --
            Pantoffeltierchen haben keine Hobbys.
            ¯\_(ツ)_/¯