Lineare Algebra und Primzahlen

[Harry]

Holladiewaldfee,

Vielen Dank für die Erklärung. Ich habe es jetzt mehr oder weniger verstanden. :-)

Interessant ist, daß dabei mehr oder weniger als Abfallprodukt (teilweise) das Binärsystem rauskommt.

Wenn man nämlich Z2 als Körper definiert:

+| 0 1   *| 0 1
------   ------
0| 0 1   0| 0 0
1| 1 0   1| 0 1

Die Multiplikation entspricht dabei dem logischen "UND".
Für das logische "ODER" (nicht exklusiv) muß eine der drei Gleichungen erfüllt sein:

(a+1)*b=1   (a=0, b=1) oder
a*b=1       (a=1, b=1) oder
a*(b+1)=1   (a=1, b=0)

Die lassen sich zu zwei Gleichungen zusammenfassen (es gilt -1=+1, klingt ätzend, ist aber so):

a+b=1 oder
a*b=1

Und die kann man wieder zusammenfassen (nicht ganz so offensichtlich):

(a+b)+(a*b)=1

Diese eine Gleichung muß also (in Z2, wohlgemerkt) erfüllt sein, um eine logische "ODER"-Bedingung für zwei Zahlen zu haben

Für das exklusive Oder (XOR) lautet die Gleichung dann einfach nur:
a+b=1

Ob man das so macht weiß ich natürlich nicht, das ist mir nur irgendwann mal aufgefallen, als ich mal wieder mit dem Krempel rumrechnen musste :)

Z2 ist übrigens der kleinstmögliche Körper. Darüberhinaus kann man Körper nicht nur über Zahlen sondern z.B. auch über Polynomen aufbauen ;)

Ciao,

Harry