Mathematik und Gartenarbeit - Berechnung eines 16-Ecks

[Swen Wacker]

Moin,

ich habe ein Matheaufgabe aus dem praktischen Leben. Eine Lösung habe mir jetzt auch zusammengebastelt, wäre aber dankbar, wenn da mal jemand, dessen Mathe-Kenntnisse etwa frischer sind als meine, kritisch drüberschaut und mich ggf. auf Fehler hinweist. Wenn die ersten Steine nämlich erstmal im Mörtelbett liegen, dann ist das mit dem korrigieren so blöd :-)

Folgendes Problem:

Ich will in unserem Garten eine möglichst kreisrunde Fläche pflastern. Da soll nämlich ein Strandkorb drauf stehen, der dann dem Lauf der Sonne entsprechend gedreht werden kann. Aus der Größe des Strandkorbes ergibt sich ein wünschenswerter Durchmesser des Kreises von ungefähr 240 cm. Die zu pflasternde Fläche soll durch Rasenrandsteine begrenzt werden, die eine Länge von je 50 cm haben. Teile ich den Umfang des Kreises (d mal pi) durch die Länge der Randstücke (240 mal pi durch 50 cm) würden also 15 Steine ausreichen. Da aus rein praktischen Gründem ein 16-Eck auf dem Rasen einfacher zu konstruieren ist (es gibt immer zwei gegenüberliegende Seiten), habe ich mich auf ein 16-Eck geeinigt. Den größeren Kreis nehme ich in Kauf.
Also gut, dann muss der Durchmesser des 16-Ecks her, damit ich weiss, in welchem Abstand ich die beiden ersten gegenüber liegenden Steine in den Boden betoniere.

Meine Formelsammlung sagt mir, dass der Umfang eines 16-Ecks d mal 3,12144515... beträgt.

16 Steine mal 50 cm ergeben einem Umfang von 800 cm. Formel nach d auflösen:
800 cm durch 3,12144515 ergibt rund 256 cm.
Also beträgt der Abstand zweier gegenüberliegender Randstücke in meinem 16-Eck 2,56m.

Na? :-)

Viele Grüße

Swen Wacker

[Aybee]

Hallo Swen,

zur Kontrolle könntest du auch mal die Hypothenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit einem Winkel von 11,25 Grad gegenüber einer Kathete von 25cm berechnen. Das müsste auch den gewünschten radius ergeben. Sag mir bitte Bescheid, was das ergeben hat.

Gruß von Aybee

[LanX!]

Hi

zur Kontrolle könntest du auch mal die Hypothenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit einem Winkel von 11,25 Grad gegenüber einer Kathete von 25cm berechnen. Das müsste auch den gewünschten radius ergeben. Sag mir bitte Bescheid, was das ergeben hat.

Stellt sich die Frage _was_ Swen unter d als Durchmesser versteht, mal meint er den Abstand der parallelen Steine, dann den Abstand gegenüberliegender Eckpunkte. Ersteres ist Ankathete, letzteres Hypothenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit einem Winkel von 360/2e Grad und 25 cm Gegenkathete, mit e Anzahl der Ecken.

Rein praktisch würde ich auf jeden Fall letzteres haben wollen, da ich erst mit einer Schnur einen Kreis ziehen würde, und dann die Steine reihum legen. Die erwähnte Breite der Steine addieren sich nach dem anlegen hinzu.

Hier ist aber auch egal ob die Steine parallel liegen!

Gegenkathete/Hypothenuse = sin(Winkel)

also Hypothenuse=Radius=r=25cm/sin(360/2e Grad)

in Javascript muss ich den Winkel als Bogenmass angeben, d.h
360 Grad entspricht 2 pi, somit erhalte ich die Formeln

javascript:alert(25/Math.sin(3.1415/16)) gibts 128.14 cm

javascript:alert(25/Math.sin(3.1415/15)) gibts 120.24 cm

Kommt noch die Breite der Randsteine hinzu kommen wir also mit einem 15eck besser hin, Polygone ohne parallele Kanten würde ich eh bevorzugen!

Na in der zeit die ich hier geschrieben habe gabs noch 20 neue Postings mal schauen was die anderen raus haben ... :)

tschau
  Rolf

[Aybee]

Hallo,

am praktischsten fände ich es auch den Außenkreis (Durchmesser = Abstand der Eckpunkte) auf den Boden zu zirkeln. Dann einen Durchmesser in den Boden ritzen (parallel zum Haus, Weg oder wie belieben). Bei den ersten beiden gegenüberliegenden Steinen an den Längstseiten die Mitte markieren. Dann kann man die Steine schön hinlegen, Ecken an den Kreis, Mittelmarkierung an den Durchmesser. Die restlichen Steine hinlegen und evtl. vermitteln.

Gruß von Aybee

[LanX!]

Hi

am praktischsten fände ich es auch den Außenkreis (Durchmesser = Abstand der Eckpunkte) auf den Boden zu zirkeln. Dann einen Durchmesser in den Boden ritzen (parallel zum Haus, Weg oder wie belieben). Bei den ersten beiden gegenüberliegenden Steinen an den Längstseiten die Mitte markieren. Dann kann man die Steine schön hinlegen, Ecken an den Kreis, Mittelmarkierung an den Durchmesser. Die restlichen Steine hinlegen und evtl. vermitteln.

Warum so umständlich? Beim  Umkreis reicht es irgendwo anzufangen die Steine hinzulegen, sodass die Ecken auf dem  Kreis liegen, und reihum weiterzumachen. (Wohlgemerkt die Ecken der Innenseite der Steine!)

Beim  Inkreis wärs viel komplizierter weil ich pro Kante nur einen  Punkt statt 2 hätte...

Wenn die Rechnung stimmt, gehts genau auf, unabhängig von Anzahl oder Parität (=> Parallelität der Kanten) der Ecken.

Macht man die Probe und dividiert 16*50/ 2r_u kommt man übrigens auf Swens 3,12144515 aus der Formelsammlung :) (r_u sei Radius Umkreis)

javascript:alert(16*Math.sin(3.1415926/16))

Ersetzen wir die 16 mit n haben wir eine allgemeine Formel für die "Kreiszahl" von n-Ecken. Für den Inkreis ergibt sichs dann wahrscheinlich analog mit tangens statt sinus ...

Tschau
Rolf

[Aybee]

Hallo,

Warum so umständlich? Beim  Umkreis reicht es irgendwo anzufangen die Steine hinzulegen, sodass die Ecken auf dem  Kreis liegen, und reihum weiterzumachen. (Wohlgemerkt die Ecken der Innenseite der Steine!)

»»

Das eine ist die Theorie und das andere die Praxis. Eine Seite des 6ecks sollte doch bestimmt parallel zu irgendwas laufen, die meisten wollen das jedenfalls so. Oder du baust nach dem Motto "nieder mit dem rechten Winkel". Natürlich geht es rechnerisch auf, haben sich ja nun genug dran beteiligt. Aber wenn du die Steine rundherum legst könnten sich kleine Legefehler addieren, so dass es vielleicht noch besser wäre sogar 2 Durchmesser im Winkel von 90 Grad in den Boden zu ritzen. Besonders, wenn du unsere Berechnungen auf ein Projekt mit sagen wir mal 25 km übertragen würdest. ;-)

Gruß von Aybee dem Schreiner

[LanX!]

Hi

Das eine ist die Theorie und das andere die Praxis. Eine Seite des 6ecks sollte doch bestimmt parallel zu irgendwas laufen, die meisten wollen das jedenfalls so. Oder du baust nach dem Motto "nieder mit dem rechten Winkel".

Rechte Winkel und parallele Steine haben IMHO nichts in nem gemütlichen Garten verloren, insbesondere wenn das Ziel lautet einen Kreis anzunähern, was man mit 15 Kanten ja schon ganz gut schafft.

Natürlich geht es rechnerisch auf, haben sich ja nun genug dran beteiligt. Aber wenn du die Steine rundherum legst könnten sich kleine Legefehler addieren, so dass es vielleicht noch besser wäre sogar 2 Durchmesser im Winkel von 90 Grad in den Boden zu ritzen.

Natürlich sollte man pragmatisch vorgehen, bedenke aber wieviel Spiel
Swen hier bereits hat, wenn er den Radius im Augenmaß um einen Zentimeter verfehlt, hat er bereits ca 6,3 cm Umfang gewonnen (wortwörtlich Pi mal Daumen ;). Die Kantenlänge der Steine würde ich also nochmal genau nachmessen!!! Ansonsten dürften Verschiebungen um +- 1 cm dem Auge auch kaum auffallen. (so breit ist ja schon fast die Furche beim Zirkeln in der Erde)

Gegenüberliegende Steine parallel auszurichten ist IMHO in der Praxis nicht trivial. Orthogonale auf Rasen auszurichten auch nicht. Den Aufwand zu betreiben rechnet sich IMHO nicht.

Sicherheitshalber würde ich eine 50 cm Schnur nehmen und schnell 16 Ecken am Umkreis abzirkeln. Bei einer Punktlandung an der ersten Ecke, weiß man dass nix mehr schieflaufen kann, ansonsten einfach den Fehler mit Augenmaß korrigieren.

Besonders, wenn du unsere Berechnungen auf ein Projekt mit sagen wir mal 25 km übertragen würdest. ;-)

Ui bei 25 km kommen noch ganz andere Effekte ins Spiel, so kommt die Erdkrümmung zum Tragen und außerdem gibts ja auch Hügel, Gruben und sonstige Dellen... da sollte Swen auch lieber in nem Geometerforum posten ;)

Tschö
Rolf der Mathematiker

[Gunther]

Moin,

Also gut, dann muss der Durchmesser des 16-Ecks her, damit ich weiss, in welchem Abstand ich die beiden ersten gegenüber liegenden Steine in den Boden betoniere.

bedenke, dass die Steine auch eine gewisse Tiefe haben.
Folglich ergibt sich beim Aneinandersetzen _/ ja außen eine gewisse "Lücke", also hat dein 16-Eck einen größeren Außen- als Innenumfang. War nur so ein "Heimwerkergedanke", ich weiß ja nicht, ob dieser Umstand in deiner Formel/ Berechnung eine Rolle spielt!

Viel Erfolg (bei dem Mistwetter)!

Gruß Gunther

[Andreas Korthaus]

Hi Swen!

Also gut, dann muss der Durchmesser des 16-Ecks her, damit ich weiss, in welchem Abstand ich die beiden ersten gegenüber liegenden Steine in den Boden betoniere.

Meine Formelsammlung...

Looser ;-)

sagt mir, dass der Umfang eines 16-Ecks d mal 3,12144515... beträgt.

16 Steine mal 50 cm ergeben einem Umfang von 800 cm. Formel nach d auflösen:
800 cm durch 3,12144515 ergibt rund 256 cm.
Also beträgt der Abstand zweier gegenüberliegender Randstücke in meinem 16-Eck 2,56m.

Na? :-)

hach, ich liebe Trigonometrie, ist nur leider schon etwas her ;-)

Ich habe einfach mal folgendes gerechnet:

erstmal 360° durch 16 geteilt: 22,5° (sind ja schließlich 10 Ecken).

Das müsste dann der Winkel zwischen 2 Kanten sein (bzw. ein Kehrwert davon oder wie auch immer das hieß ;-))

Wenn ich mir so ein 16-Eck aufmale, muss ich eigentlich nur die Kanten von 2 verschiedenen (rechtwinkligen) Dreiecken berechnen (z.B. mit dem Sinus-Satz), den Rest kann ich dann einfach zusammenrechnen.

Hm, ist doof zu erklären ohne Zeichning ;-)

Jedenfalls habe ich folgendes raus:

Abstand 2er gegenüberliegender Kanten: 2 * 50 * (sin(22,5°) + sin (45°) + sin(67,5°)) + 25) = 251,3669746 cm

Aber ich übernehme keine Gewähr ;-)

Grüße
Andreas

[Andreas Korthaus]

erstmal 360° durch 16 geteilt: 22,5° (sind ja schließlich 10 Ecken).

16 natürlich ;-)

Abstand 2er gegenüberliegender Kanten: 2 * 50 * (sin(22,5°) + sin (45°) + sin(67,5°)) + 25) = 251,3669746 cm

2 * ( 50 * ( sin(22,5°) + sin(45°) + sin(67,5°) ) + 25 ) = 251,3669746 cm

jaja, die lieben Klammern... ;-)

Aber ich übernehme keine Gewähr ;-)

dabei bleibe ich aber ;-)

Grüße
Andreas

[FrankieB]

Hallo Andreas,

Ich habe einfach mal folgendes gerechnet:

erstmal 360° durch 16 geteilt: 22,5° (sind ja schließlich 10 Ecken).

10 Ecken?

Abstand 2er gegenüberliegender Kanten: 2 * 50 * (sin(22,5°) + sin (45°) + sin(67,5°)) + 25) = 251,3669746 cm

Den Wert bekomme ich auch, allerdings hätte ich das einfacher gerechnet ;-)

Abstand Innenseiten = (2 x 25cm)/tan(11,25°) = 151,366 ...

Aber ich übernehme keine Gewähr ;-)

Grüsse
Frankie

[FrankieB]

Korrektur:

Abstand Innenseiten = (2 x 25cm)/tan(11,25°) = 151,366 ...

^^^^
                                                 251,366 ...

Aber ich übernehme keine Gewähr ;-)

Gut, daß ich das stehen habe lassen ;-)

Grüsse
Frankie

[Andreas Korthaus]

Hi!

Den Wert bekomme ich auch, allerdings hätte ich das einfacher gerechnet ;-)

Abstand Innenseiten = (2 x 25cm)/tan(11,25°) = 151,366 ...

Wie kommst Du da drauf? Hat ja Aybee, auch vorgeschlagen.

Grüße
Andreas

[FrankieB]

Hallo Andreas,

Abstand Innenseiten = (2 x 25cm)/tan(11,25°) = 151,366 ...

Wie kommst Du da drauf? Hat ja Aybee, auch vorgeschlagen.

Wollte es halt selbst rechen um zu testen, ob ich das noch ohne fremde Hilfe hinkriege.

Grüsse
Frankie

[Andreas Korthaus]

Hi!

Abstand Innenseiten = (2 x 25cm)/tan(11,25°) = 151,366 ...

Wie kommst Du da drauf? Hat ja Aybee, auch vorgeschlagen.

Wollte es halt selbst rechen um zu testen, ob ich das noch ohne fremde Hilfe hinkriege.

Ja, ich ja auch - aber wie kommst Du auf diese Formel? Ich hab mir nur das 16-Eck angesehen und mir überlegt dass es nur aus Quadraten und 2 verschiedenen Dreiecken besteht, also musste ich nur zwei bzw. eine Seite der beiden Dreiecke bestimmten, und den Kram richtig zusammenrechnen. Mir ist nur nicht klar wie man hier auf 11,25° kommt und warum tan(), und warum 50/ das ganze? Vermutlich kann man meine Formel irgendwie dahin umstellen, naja, ist wirlich schon ein paar Jährchen her bei mir ;-)

Grüße
Andreas

[Daniel Thoma]

Hallo Andreas,

Ja, ich ja auch - aber wie kommst Du auf diese Formel?

Zeichne mal die Abstände aller Eckpunkte und aller Seiten vom Mittelpunkt ein.

Grüße

Daniel

[Andreas Korthaus]

Hi Daniel!

Ja, ich ja auch - aber wie kommst Du auf diese Formel?
Zeichne mal die Abstände aller Eckpunkte und aller Seiten vom Mittelpunkt ein.

Ah ja, dann wird es wirklich einfacher, Danke für den Tipp ;-)

Grüße
Andreas

[Aybee]

Hallo Andreas,

beim 16eck hast du ja 16 gleichschenklige Dreiecke, hier mit der Grundseite 50. ok?
Diese 16 Dreiecke kannst du jeweils in 2, insgesamt in 32 rechtwinklige Dreiecke zerlegen, mit einer Kathete von 12,5cm. ok?
360 Grad geteilt durch 32 gleich 11,25 Grad.
Die Hypothenuse eines von diesen rechtwinkligen Dreiecks entspricht dem Radius des das 6eck umgebenden Kreises.

Gruß von Aybee

[LanX!]

Hi

Diese 16 Dreiecke kannst du jeweils in 2, insgesamt in 32 rechtwinklige Dreiecke zerlegen, mit einer Kathete von 12,5cm. ok?

alles korrekt, nur es sind 25 cm, ok? ;)

tschau
  Rolf

[Aybee]

Hallo,

oh man, klar. Danke. Immer diese Flüchtigkeitsfehler.

Mir ist auch noch aufgefallen, dass wenn man anstatt der Hypothenuse die andere Kathete berechnet, man den Innenkreisradius bekommt. Dieser multipliziert mit 2 ist dann auch der Abstand der ersten beiden Platten.

Gruß von Aybee

[Andreas Korthaus]

Hi!

beim 16eck hast du ja 16 gleichschenklige Dreiecke, hier mit der Grundseite 50. ok?
Diese 16 Dreiecke kannst du jeweils in 2, insgesamt in 32 rechtwinklige Dreiecke zerlegen, mit einer Kathete von 12,5cm. ok?
360 Grad geteilt durch 32 gleich 11,25 Grad.
Die Hypothenuse eines von diesen rechtwinkligen Dreiecks entspricht dem Radius des das 6eck umgebenden Kreises.

Danke auch Dir!

Grüße
Andreas

PS: Aber warum einfach wenns auch kompliziert geht? ;-)

[FrankieB]

Hallo Andreas,

Abstand Innenseiten = (2 x 25cm)/tan(11,25°) = 151,366 ...

Wollte es halt selbst rechen um zu testen, ob ich das noch ohne fremde Hilfe hinkriege.

Ja, ich ja auch - aber wie kommst Du auf diese Formel? Ich hab mir nur das 16-Eck angesehen und mir überlegt dass es nur aus Quadraten und 2 verschiedenen Dreiecken besteht, also musste ich nur zwei bzw. eine Seite der beiden Dreiecke bestimmten, und den Kram richtig zusammenrechnen. Mir ist nur nicht klar wie man hier auf 11,25° kommt und warum tan(), und warum 50/ das ganze? Vermutlich kann man meine Formel irgendwie dahin umstellen, naja, ist wirlich schon ein paar Jährchen her bei mir ;-)

Versuche das mal ohne Skizze zu erklären (kannst ja mitzeichnen ,-):

Für ein Segment ergibt sich (bei 16 Ecken):

360°/16 = 22,5°

Länge des Begrenzungssteins = 50cm.

Zusatzbedingung: Das Segment soll ein gleichschenkliges Dreick mit dem (noch) unbekannten Mittelpunkt eines Kreises bilden.

Leider ist dieses Dreick aber nicht rechtwinklig, und um mit trig. Funktionen rechnen zu können brauchen wir einen rechten Winkel.

Hilfskonstruktion: Seitenhalbierende bzw. Winkelhabierende (in unserem Fall identisch, da gleichseitiges Dreieck), welche ebenfalls durch den gedachten Mittelpunkt geht.

Winkelhalbierende => Winkel zwischen Ankathete (unser unbekanntes x, halber Abstand der gegenüberliegenden Seiten)) und Hypothenuse = 11,25°

Seitenhalbierende => Gegenkathete = 25 cm

tan(11,25°) = Gegenkathete/Ankathete = Gegenkathete/x

x = Gegenkathete/tan(11,25°)

Gesucht = 2*x = 2*25cm/tan(11,25°)

Ohne Skizze schwer zu erklären, ist ja auch Geometrie ;-)

Grüsse
Frankie

[Andreas Korthaus]

Hallo!

Jetzt habe ich 3 Erklärungen, dann kann ja nix mehr schief gehen ;-)

Ohne Skizze schwer zu erklären, ist ja auch Geometrie ;-)

Trotzdem Danke!

Grüße
Andreas

[Daniel Thoma]

Hallo Swen,

Also gut, dann muss der Durchmesser des 16-Ecks her, damit ich weiss, in welchem Abstand ich die beiden ersten gegenüber liegenden Steine in den Boden betoniere.

Du kennst doch die Fläche, die Du benötigst (der besagte Kreis).
Diese Fläche brauchst Du mindestens, muss also da reinpassen.
Folglich muss der Abstand zweier gegenüberliegenden Seiten gleich dem Durchmesser des Kreises sein.
Der Zusammenhang zwischen Abstand a einer Seite vom Mittelpunkt und Umfang u eines regelmäßigen Vielecks mit n Seiten ist:
u = 2 * n * tan(PI / n) * a
Das kann man sich leicht überlegen, indem man das Vieleck in Dreiecke zerlegt.

Meine Formelsammlung sagt mir, dass der Umfang eines 16-Ecks d mal 3,12144515... beträgt.

Ja, das gilt aber nicht für den Abstand zweier gegenüberliegender Seiten, sondern für den Abstand zweier gegenüberliegender Punkte.
Der Zusammenhang zwischen Abstand a eines Punktes vom Mittelpunkt und Umfang u eines regelmäßigen Vielecks mit n Seiten ist:
u = 2 * n * sin(PI / n) * a

(Ich hab immer den Abstand vom Mittelpunkt genommen, weil das dann auch für regelmäßige Vielecke klappt, bei denen nicht immer je 2 Seiten parallel sind)

Grüße

Daniel

[LanX!]

Hi Swen

Also beträgt der Abstand zweier gegenüberliegender Randstücke in meinem 16-Eck 2,56m.

Falsch, dat is der abstand der Ecken, weil du den Durchmesser des Umkreises berechnet hast. Den solltest du aber auch benutzen... siehe unten ... wenn du morgen die Erkenntnisse dieses Threads aberntest.

Na? :-)

Uff ... zu blöd zum Formelnanwenden aber schlau genug das Forum für sich brüten zu lassen!;)

SCNR
Rolf

[Swen Wacker]

Moin,

echt, was wäre ich nur ohne Euch. Vielen, vielen Dank für Eure Mühe. Jetzt werde ich mal in Ruhe Eure Berechnungen "erlernen" und morgen dann über das praktische Resultat berichten.

Viele Grüße

Swen Wacker

[Andreas Korthaus]

Hallo Swen!

echt, was wäre ich nur ohne Euch. Vielen, vielen Dank für Eure Mühe. Jetzt werde ich mal in Ruhe Eure Berechnungen "erlernen" und morgen dann über das praktische Resultat berichten.

Wir kommen dann alle am nächsten Wochende zum Grillen vorbei und überprüfen ob Du Dich auch nirgendwo vermessen hast... ;-)

Grüße
Andreas

[Swen Wacker]

Moin,

Wir kommen dann alle am nächsten Wochende zum Grillen vorbei und überprüfen ob Du Dich auch nirgendwo vermessen hast... ;-)

Nächstes Wochenende ist blöd. Am nächsten Wochenende ist nämlich Hamburg-Marathon! Da könnt ihr alle nach Hamburg kommen, euch an der Strecke verteilen und mir motivierende Codeschnipsel zu rufen :-)

Viele Grüße

Swen Wacker

[Andreas Korthaus]

Hi Swen!

Nächstes Wochenende ist blöd. Am nächsten Wochenende ist nämlich Hamburg-Marathon! Da könnt ihr alle nach Hamburg kommen, euch an der Strecke verteilen und mir motivierende Codeschnipsel zu rufen :-)

Du meinst so Sachen wie "HEY SWEEEEEEN!!! <STRONG>BEINE</STRONG> !!!" und sowas? ;-)

Grüße
Andreas

[dedlfix]

echo $begrueszung;

Wenn die ersten Steine nämlich erstmal im Mörtelbett liegen, dann ist das mit dem korrigieren so blöd :-)

Rechnen ist gut, Kontrolle ist besser (oder so ähnlich :-). Du kannst die Steine ja erst einmal  wie berechnet hinlegen und schauen, ob es passt. Mit Hinlegen meine ich, die Steine so hinzustellen, wie sie eingebaut werden sollen und dann nach außen "umfallen lassen", und um die Stein-Tiefe nach innen verschieben.

echo "$verabschiedung $name";